いま私たちが使う数の書き方が自然に見えるのは、それしか習わなかったからである。しかしほかの文化は、量を書き表し、それで計算するという同じ問題を、別のやり方で解いた。そしてそれぞれの解き方は、その文化が考えることのできたものに跡を残した。 中国の算木 二千年近くのあいだ、中国の数学者たちは算木で計算した。竹や骨や金属の小さな棒を、列に分けた盤の上に並べるのである。各列は十進のひとつの位で、1 から 5 までの数字は同じ本数の算木で表し、6 から 9 は五を表す一本にいくつかを加えて表した。となりの列と混ざらないように、算木の置き方は交互に変わった。一の位は縦、十の位は横、百の位はまた縦である。 秦九韶『数書九章』（1247）に算木の数字で書かれた計算。空いた位はすでに小さな丸、つまりゼロで示されている。秦九韶 · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 算木の記法は道具の記法である。それは盤を写している。空いた位は、算木のない列にすぎなかった。数が紙の上に移ると、それは空白になり、13 世紀には上のページのように小さな丸になった。 そして算木には色があった。紀元前後ごろにまとめられた『九章算術』は、「正」の数と「負」の数を使って連立方程式を解く方法を教えている。注釈者の劉徽は 263 年に、一方には赤い算木、もう一方には黒い算木を使い、それらを足したり引いたりする規則があったと説明している。ヨーロッパでは、それから千年以上たっても、負の数は「ばかげた数」と呼ばれていた。二色の道具が、一色のインクしかもたないヨーロッパの書き方がなかなか受け入れられなかったものを、考えられるものにしたのである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 マヤの点と棒 中央アメリカのマヤの人々は二十ずつ数えた。点は一、棒は五を表し、1 から 19 までの数字は、棒を最大三本、点を最大四つ使って作った。位は下から上へ積み重ねられ、空いた位には貝のような専用の記号があった。4 世紀の碑文ですでに使われていた位取りのゼロであり、インドのゼロとは独立に生まれたものである。 『ドレスデン絵文書』の 62 ページ。残っている数少ないマヤの本のひとつで、シルヴェイナス・モーリーによる複製。数は点と棒で、黒と赤で、蛇のあいだに書かれている。Sylvanus Morley · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 暦の計算では、三番目の位は $20 \cdot 20 = 400$ ではなく、一年の日数に近い $18 \cdot 20 = 360$ を表した。この記法は天文学と祭祀に仕えていた。それを使いこなす神官たちは、日食や金星の周期を何世紀も先まで計算した。 インカの結び目 インカにはアルファベットの文字はなかったが、キープがあった。主となる紐から垂れ下がった何本もの紐に、いろいろな高さで結び目をつけたものである。1923 年、アメリカのリーランド・ロックは、多くのキープが十進の位取りで数を記録していることを示した。紐の上の結び目の高さが位を表し（一の位が下、十の位がその上、というように）、結び目の種類が数字を表した。キープを作り、読む専門家であるキープカマヨクは、帝国全体の人口調査、貢納、貯蔵をそこに保存していた。 リマのラルコ博物館にあるインカのキープ。垂れ下がった紐の一本一本が、結び目の位置と種類でひとつの数を保存している。bobistraveling · ウィキメディア・コモンズ · CC BY 2.0 残った六十進法 最後に、位取りの書き方のうちもっとも古いバビロニアのものは、私たちの書き方の中に生き残った。彼らは六十進法で数えた。だから 1 時間は 60 分、1 分は 60 秒、1 度は 60 分である。$1\text{ h } 23\text{ min } 45\text{ s}$ と言うとき、私たちは三けたの六十進数を書いているのである。
残っているもっとも古い書かれた数学は、刻み目のついた骨である。イシャンゴの骨は 1950 年に、コンゴ民主共和国とウガンダの国境にあるエドワード湖のほとりで見つかった。およそ二万年前のもので、三列に分かれた平行な刻み目の群れが彫られている。それが何を数えていたのか、確かなことはだれにも分からない。しかし考え方ははっきりしている。ひとつのものにひとつの印である。 イシャンゴの骨。柄にそって刻み目の群れが彫られている。ブリュッセル自然科学博物館。Joeykentin · ウィキメディア・コモンズ · CC BY-SA 4.0 第2章のことばで言えば、刻み目はイコンである。五本の刻み目は五匹の羊に似ている。少なくとも数において。だからこの書き方は教える必要がない。見ればわかる。代償は長さだ。千を書くには、千本の刻み目がいる。 ひとつの数の三つの表し方 いま私たちが書く数は、刻み目の正反対である。数字 $3$ は三つのものに似ていないし、$304$ の中の $3$ が三百を表すのは、第1章で見たように、それが三番目の位にあるからにすぎない。数えることを学ぶ子どもは、たがいに少しも似ていない三つの表し方を結びつけなければならない。 見たり触ったりできる量 話しことばの数詞、ポルトガル語なら「トレゼントス・イ・クアトロ」（三百と四） 書かれた数字、$304$ 数詞と数字は文法がちがう。話しことばはかたまりを足す。三百、と、四。書きことばは数字を位に置く。$0$ は十の位を占めるが、ポルトガル語や英語の話しことばはそれに触れもしない。子どもが聞いたとおりにかたまりごとに書くと、$3004$ になる。「三百」の $300$ のあとに「四」の $4$ が続くのである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 この誤りには名前があり、転記の誤りと呼ばれて、多くの国で研究されてきた。それは系統的である。話しことばが空いた位を隠す数にこそ現れ、子どもが「ひとつの位にはひとつの数字、ただひとつだけ」と理解すると、ほとんど消えてしまう。不注意ではない。話しことばには通用し、書きことばには通用しない規則を、忠実に当てはめた結果なのである。 助ける言語とじゃまをする言語 ポルトガル語では、十一から十五までの名前は不透明である。onze は「十と一」とは言わない。英語の eleven や twelve はさらに不透明だ。フランス語では $97$ を quatre-vingt-dix-sept、「四つの二十、十、七」と言う。ひとつの語の中に計算がまるごと入っている。二十ずつ数えた時代の名残である。 中国語と日本語では、名前が書き方にそっている。十一は「十一」、九十七は「九十七」。位取りの構造がことばの中にある。比較研究の中には、たとえば 1980 年代の終わりにイリーン・ミウラらが行ったもののように、東アジアの子どもが同じ年齢のアメリカの子どもより早く、ブロックで十の位と一の位を表せるようになることを見いだしたものがある。ちがいは言語だけによるのではない（学校や家庭の影響も大きい）。それでも、話しことばの数詞が数字を読むのを助けもすれば、じゃまもすることがわかる。 声に出るゼロ 中国語では $1504$ を「一千五百零四」、yī qiān wǔ bǎi líng sì と読む。「千、五百、ゼロ、四」である。言語が空いた位を発音する。ポルトガル語では mil quinhentos e quatro、「千五百と四」と言い、十の位のゼロは話しことばから消える。子どもがつまずくのは、まさにそこである。 練習：誤りを読む先生がポルトガル語で quinhentos e sete（「五百と七」）と読み上げると、ある子どもは $5007$ と書き、dois mil e dez（「二千と十」）と読み上げると $200010$ と書く。この子はどんな規則に従っているのだろうか。 話しことばのかたまりを、それぞれひとつの完全な数として書き、それらをつなげている。$500$ のあとに $7$ で $5007$、$2000$ のあとに $10$ で $200010$ である。規則は一貫しているので、誤りはくり返される。欠けているのは、$7$ が $500$ の横に並ぶのではなく、$500$ の一の位を占めるという考えだ。$500+7=507$、同じように $2000+10=2010$ である。