クラスで $(a+b)^2$ はいくつかと聞くと、一部の生徒は $a^2 + b^2$ と答える。$\sqrt{9 + 16}$ はいくつかと聞くと、だれかが $3 + 4 = 7$ と言う。これらの誤りはあまりにありふれていて、学校がちがってもあまりに似ているので、偶然ではありえない。ある規則に従っているのである。 広げすぎた規則 1982 年、アメリカの研究者マリリン・マッツは高校生の代数の誤りを調べ、その多くが正しい規則から組み立てられたまちがった規則（malrules）から来ていると提案した。中でもいちばん多くの誤りを生むのは分配法則である。 $$a(b + c) = ab + ac.$$これは正しく、早くから出てきて、いつも使われる。生徒は「外にあるものは各項に入る」と覚え、だれもそうではないと言わなかったので、和に何かの演算をほどこしているように見えるものすべてに、その動作を広げる。 $$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$どれもまちがっている。どれも分配法則と同じ形をしている。記法の観点から見ると、生徒は書かれたものをとてもよく読んでいる。見た目のパターンを見つけ、それを一貫して当てはめている。欠けているのは、形だけでは足りないと知ることである。分配法則がかけ算について成り立つのは、かけ算がどういうものかによるのであって、かっこの見た目によるのではない。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 虫めがねとしての反例 まちがった規則をくずす道具は反例、つまりその規則が成り立たないたったひとつの場合である。$a = 3$、$b = 4$ とすると、$(a+b)^2 = 49$、$a^2 + b^2 = 25$。これで終わりだ。規則は死んだ。$(ab)^2 = a^2 b^2$ のような正しい規則は、どんな試しにも生き残る。上の図で試してみることができる。