クラスで $(a+b)^2$ はいくつかと聞くと、一部の生徒は $a^2 + b^2$ と答える。$\sqrt{9 + 16}$ はいくつかと聞くと、だれかが $3 + 4 = 7$ と言う。これらの誤りはあまりにありふれていて、学校がちがってもあまりに似ているので、偶然ではありえない。ある規則に従っているのである。

広げすぎた規則

1982 年、アメリカの研究者マリリン・マッツは高校生の代数の誤りを調べ、その多くが正しい規則から組み立てられたまちがった規則（malrules）から来ていると提案した。中でもいちばん多くの誤りを生むのは分配法則である。

$$a(b + c) = ab + ac.$$

これは正しく、早くから出てきて、いつも使われる。生徒は「外にあるものは各項に入る」と覚え、だれもそうではないと言わなかったので、和に何かの演算をほどこしているように見えるものすべてに、その動作を広げる。

$$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$

どれもまちがっている。どれも分配法則と同じ形をしている。記法の観点から見ると、生徒は書かれたものをとてもよく読んでいる。見た目のパターンを見つけ、それを一貫して当てはめている。欠けているのは、形だけでは足りないと知ることである。分配法則がかけ算について成り立つのは、かけ算がどういうものかによるのであって、かっこの見た目によるのではない。

虫めがねとしての反例

まちがった規則をくずす道具は反例、つまりその規則が成り立たないたったひとつの場合である。$a = 3$、$b = 4$ とすると、$(a+b)^2 = 49$、$a^2 + b^2 = 25$。これで終わりだ。規則は死んだ。$(ab)^2 = a^2 b^2$ のような正しい規則は、どんな試しにも生き残る。上の図で試してみることができる。

小さな数で試すのは、確かめの習慣であるだけでなく、読む習慣でもある。新しい等式を書き、先へ進む前に $a = 1$、$b = 2$ を代入する人は、自分の誤りの大半をつかまえる。しかし試しには限界がある。第4章が示したように、例は規則をくつがえすが、証明はしない。

たまたま正しくなる約分

ときどき正しい答えを出してしまう有名な誤りがある。

$$\frac{16}{64} = \frac{1\not{6}}{\not{6}4} = \frac{1}{4}.$$

上の $6$ と下の $6$ を「消す」のには何の意味もない。$16$ の $6$ は一が六つ、$64$ の $6$ は六十を表す。それなのに結果は正しい！二けたでは、このような分数は（$\frac{11}{11}$ のような自明なものを除いて）四つしかない。$\frac{16}{64}$、$\frac{19}{95}$、$\frac{26}{65}$、$\frac{49}{98}$ である。珍しい話の種になるほどまれで、ときどきまちがった規則を裏づけてしまうほど危険である。

練習：夢がかなうとき

どんな実数 $a$、$b$ について $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ が成り立つか。

展開すると $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。等式は $2ab = 0$、つまり $a = 0$ または $b = 0$ を求める。まちがった規則は、項の一方が 0 のときにちょうど正しくなる。だからこそ、うまく選ばれていない例の前では生き残ってしまうことがある。

練習：26/65 の約分

$\frac{26}{65} = \frac{2}{5}$ を確かめ、「6 を消す」が規則ではない理由を説明せよ。

$\frac{26}{65}$ を $13$ で割ると $\frac{2}{5}$。正しい。しかし $\frac{36}{63}$ で同じように $6$ を消すと $\frac{3}{3} = 1$ になるが、$\frac{36}{63} = \frac{4}{7}$ である。$\frac{26}{65}$ の偶然は、数字の範囲ではわずかな解しかもたない方程式 $\frac{10a + b}{10b + c} = \frac{a}{c}$ から来ているのであって、くり返される数字の性質から来ているのではない。

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