歴史的な肖像 クリストフ・ベルンハルト・フランケが 1695 年ごろに描いたライプニッツの肖像は、ウィキメディア・コモンズから取得したもので、パブリックドメインです。コモンズが提供する 960 ピクセルのサムネイルを編集せずに使用しています。 出典ページ。 パブリックドメイン・マーク。 ブログの図 表紙と掛け算 $23\times14$ の説明図はオリジナルの図版です。説明図は計算を説明するもので、歴史上の機械の機構を再現したものではありません。 8 ビット、積の法則の各項、π の級数の和のインタラクティブな図は、このシリーズのために作成しました。本文の例を使えば、JavaScript がなくても計算を追うことができます。 記録 ファイル data/leibniz_imagens.json に、肖像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に記載しています。 追加した歴史図版 これらの図版はウィキメディア・コモンズによる。それぞれの出典、ライセンス、SHA-256 ハッシュ値は data/leibniz_imagens.json に記録してある。 ライプニッツの論文の二進法の表（1703）: ライプニッツ（1703） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ブーヴェが送った『易経』の卦の図（1701）: ジョアシャン・ブーヴェとライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ドレスデンのライプニッツの計算機: Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 『新しい方法』の最初のページ（1684）: ライプニッツ · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ライプニッツの全トピック · ← ライプニッツの遺産
日本語で書かれた数学の文章は、同時に二つの言語で書かれている。ひとつは記号の言語、$=$、$+$、$x$、$\sqrt{\ }$ である。もうひとつは日本語に見えるが、そのままの日本語ではない。ふだんのことばを数学者どうしで取り決めた意味で使っていて、二つが同じ文の中で混ざり合う。 イギリスの言語学者マイケル・ハリデーは 1970 年代に、この言語の変種を数学のレジスターと呼んだ。レジスターとは、ある活動に結びついた話し方のことで、台所のことば（「さっと炒める」「とろみをつける」）やサッカーのことば（「オフサイド」「セットプレー」）がそれにあたる。数学のレジスターには、もうひとつ厄介な点がある。そのことばの多くがふだんのことばとして別の意味ですでに存在し、意味が変わるときに読み手には知らされないのである。 意味の変わることば イギリスの数学教育学者デイヴィッド・ピムは、著書『数学を話す』（Speaking Mathematically、1987）で、そうした例をたくさん集めた。日本語でも次のようなものがある。 積はかけ算の結果であって、積もったものではない。 差はひき算の結果である。「7 と 3 の差は？」が求めているのは $4$ であって、「どちらも奇数」ではない。 体積は空間の大きさをはかる量である。 根は、第1章で見たように正方形の辺であり、多項式を 0 にする値でもある。 正規、有理、実は、ふつう、筋が通っている、本当の、という意味ではない。 平均には算術平均も幾何平均も加重平均もある。新聞に出てくるのは、ほとんどいつもそのうちのひとつだ。 いちばんの危険は名詞にはない。名詞なら用語集で片づく。危険は小さなことばにある。 小さなことば 「または」。 ふだん「コーヒーまたは紅茶？」はひとつを選ぶことを期待している。数学では、「$x > 0$ または $y > 0$」は両方が正のときにも成り立つ。数学の「または」は包含的である。排他的な「または」は、「どちらか一方だけで、両方ではない」とはっきり言わなければならない。 「ならば」。 「雨が降ったら行かない」は、ふつう「降らなければ行く」と受けとられる。数学では、「$n$ が 4 の倍数ならば、$n$ は偶数である」は、4 の倍数でない数については何も言っていない。$6$ は偶数だが 4 の倍数ではなく、それでもこの文は正しい。両方を言うために、数学には別の言い方「のとき、かつそのときに限り」と、別の記号、第4章の $\Leftrightarrow$ がある。 「ある」。 「ある生徒が休んだ」は、会話では全員ではないことをほのめかす。数学では、「ある素数は偶数である」は「少なくともひとつ」という意味でしかなく、全部がそうであっても正しいままである。 「何倍多い」。 「ペドロはアナより三倍多くシールを持っている。」アナが $10$ 枚持っているとき、ペドロは $30$ 枚（アナの三倍）なのか、$40$ 枚（アナの分に、その三倍を足したもの）なのか。辞書や文章作法の本でも意見が分かれる。数学のレジスターは、その言い方を三倍に置きかえて疑いを避ける。 足す「と」と、求める「かつ」 「二と三で五」の「と」は足し算である。「$x > 2$ かつ $x < 5$」では、それは二重の要求である。二つの条件が同時に成り立ち、集合は大きくではなく小さくなる。ポルトガル語では両方を同じ接続詞 e で言い、同じことばが正反対の操作を命じる。学ぶ人は、そのどちらが働いているのかを文脈から見ぬかなければならない。 レジスターを身につける 数学のレジスターは、定義の一覧で命令して身につくものではない。どの言語とも同じように、使われているのを聞き、話し、直されることで身につく。だから $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ のような文を生徒に声に出して読ませる（「すべての実数 $x$ について、$x$ の二乗は 0 以上である」）のは、時間のむだではない。それはひとつの言語からもうひとつの言語への移しかえであり、読みがどこでつまずいているかを見せてくれる。
1760 年から 1762 年にかけて、レオンハルト・オイラーはドイツの若い王女――プロイセン王の姪――に二百通を超える手紙を書き、物理学、天文学、哲学を教えた。これらの手紙は 1768 年から『ドイツの王女への手紙』として出版され、その世紀でもっとも広く読まれた科学啓蒙書の一つになった。そのうちの何通かで、論理的な推論を説明するために、オイラーは円を描いた。 三つの文、三つの図 二つの集合の三つの関係を円で描いたもの。「すべての A は B である」（A が B の内側）、「どの A も B ではない」（離れた円）、「ある A は B である」（交わる円）。本書のために作成した説明図。 考え方はこうだ。各概念が一つの領域を占め、論理的な文が位置の関係になる。 「すべての A は B である」：円 $A$ が円 $B$ の内側にある。 「どの A も B ではない」：二つの円が離れている。 「ある A は B である」：二つの円が交わり、共通部分に何かがある。 では三段論法がどうなるかを見よう。「すべての A は B である。すべての B は C である。」一つ目の円を二つ目の内側に、二つ目を三つ目の内側に描く。それ以上何もする必要はない。結論**「すべての A は C である」**はすでに図の中にある。誰もわざわざ入れたわけではないのに、$A$ はもう $C$ の内側にあるからだ。図が推論をただでやってくれたのである。