ギリシア人にとって図形を「求積する」とは、同じ面積をもつ正方形か、ほかの直線で囲まれた図形を見つけることだった。円の求積は不可能な問題の代表である。アルキメデスは曲線で囲まれた図形の求積に成功した。放物線の弓形、つまり放物線と一本の弦にはさまれた領域である。 直線と直角円錐の切り口とで囲まれたどの弓形も、その弓形と同じ底辺と同じ高さをもつ三角形の三分の四である。 — アルキメデス『放物線の求積』、ドシテオスへの手紙 「直角円錐の切り口」とは、アルキメデスが放物線につけていた名前である。この本はコノンの死後にドシテオスにささげられた。アルキメデスは最初にこの結果をコノンに見せたのだという。 三角形のなかの三角形 弦を引き、弧の上で接線が弦に平行になる点をとる。三つの点は面積 $T$ の三角形をつくり、弓形の大部分を占める。三角形の辺と曲線のあいだに、小さな領域が二つ残る。それぞれで同じことをする。三つ目の頂点が放物線の上にある新しい三角形を描くのである。さらに小さな領域が四つ残り、以下同様に続く。 アルキメデスが発見したのは、新しい三角形の組は、合わせてもとの三角形の面積の四分の一になるということだった。したがって第一段階で $T$、第二段階で $\frac{T}{4}$、第三段階で $\frac{T}{16}$ が得られ、面積全体は $$T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \cdots$$となる。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 無限に多くの項を足す アルキメデスは「無限の和」とは言わず、無限を注意深く避けた。そのかわりに、有限の和についての事実を証明した。項の数がいくつであっても $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{4^n} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}.$$つまり $\frac{4}{3}$ に届くまでに足りない分は、いつも最後の項の三分の一で、それはいくらでも小さくできる。そのうえで二重の背理法により、弓形の面積は $\frac{4}{3}T$ より大きくも小さくもありえないことを示した。これがエウドクソスから受けついだ取りつくし法であり、極限の概念の直接の祖先である。 微積分で確かめる 今日の道具を使えば、計算はすぐにできる。放物線 $y = 1 - x^2$ と、$x$ 軸上の $-1$ から $1$ までの弦について $$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}.$$内接三角形は底辺 2、高さ 1 で、面積は $T = 1$ である。比はちょうど $\frac{4}{3}$ で、アルキメデスがニュートンとライプニッツより十九世紀も前に証明したとおりである。
やはりドシテオスにささげられた『螺旋について』で、アルキメデスは運動によって定義される新しい曲線を調べている。 平面上の直線が、固定された一方の端のまわりを一様な速さで回転して出発点の位置にもどり、同時に一点が固定された端から出発して直線にそって一様な速さで動くならば、その点は平面上に螺旋をえがく。 — アルキメデス『螺旋について』、定義 方程式 極座標では、点から中心までの距離 $r$ は、直線が回った角 $\theta$ と同じ割合で増える。 $$r = a\,\theta.$$一回転するごとに半径は同じだけ、$2\pi a$ ずつ増えるので、続く巻きは等しい間隔で並ぶ。レコード盤の溝や、地面に巻いたホースのようにである。 円の三分の一 アルキメデスは、最初の一回転のあいだに半径がはく面積を計算した。手法はここでも取りつくし法で、一回転を多くの細い扇形に分け、曲線の内側のものと外側のものを足しあわせる。現代の記法では、角 $d\theta$、半径 $r$ の扇形の面積は $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$ だから $$A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(a\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2.$$最初の一回転の終わりの半径 $R = 2\pi a$ を半径とする円の面積は $\pi R^2 = 4\pi^3 a^2$ である。螺旋の面積はそのちょうど三分の一になる。 $$\frac{A}{\pi R^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi^3 a^2}{4\pi^3 a^2} = \frac{1}{3}.$$そこにたどり着くために、アルキメデスは平方の和 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ についての公式を必要とした。それは、この和が $\frac{n^3}{3}$ と $\frac{(n+1)^3}{3}$ のあいだにあると言うのと同じことである。微積分で $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$ を与えるのも、この和である。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。