Em 1925 e 1926 nasceram, quase ao mesmo tempo, duas versões da mecânica quântica. A de Werner Heisenberg usava matrizes infinitas; a de Erwin Schrödinger, uma equação de ondas. As duas davam os mesmos resultados nos experimentos, mas pareciam falar de coisas diferentes, e os físicos usavam truques que os matemáticos achavam inaceitáveis, como a “função” delta de Dirac. Em Göttingen, trabalhando com Hilbert, von Neumann mostrou que as duas eram a mesma teoria escrita em coordenadas diferentes, e reescreveu tudo numa linguagem só. O livro Fundamentos matemáticos da mecânica quântica, de 1932, é até hoje a referência para quem quer a teoria com todo o rigor.
Os determinantes nasceram para resolver sistemas de equações lineares. Em 1750 Gabriel Cramer publicou a regra que leva o seu nome, que dá cada incógnita como uma razão de duas expressões formadas com os coeficientes. Mas faltava um jeito organizado de calcular essas expressões quando havia muitas incógnitas. Em 1772, quase ao mesmo tempo, Alexandre-Théophile Vandermonde e Laplace estudaram essas expressões como objetos por si mesmos. A palavra determinante, no sentido atual, só foi fixada por Cauchy em 1812, e as barras verticais que usamos hoje vieram de Arthur Cayley em 1841.
Todo quatérnio $q = a + v$, com parte escalar $a$ e parte vetorial $v$, satisfaz uma equação do segundo grau com coeficientes reais. Como $v^2 = -\lvert v \rvert^2$ (veja os vetores), $$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$e daí $$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$Um quatérnio é raiz de um polinômio real de grau 2, assim como um número complexo $z$ é raiz de $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$. Nas Lectures on Quaternions, de 1853, Hamilton foi mais longe e mostrou que certas funções lineares de quatérnios também satisfazem uma equação polinomial própria, que lhe serviu para calcular as suas inversas.