Em 1925 e 1926 nasceram, quase ao mesmo tempo, duas versões da mecânica quântica. A de Werner Heisenberg usava matrizes infinitas; a de Erwin Schrödinger, uma equação de ondas. As duas davam os mesmos resultados nos experimentos, mas pareciam falar de coisas diferentes, e os físicos usavam truques que os matemáticos achavam inaceitáveis, como a “função” delta de Dirac.

Em Göttingen, trabalhando com Hilbert, von Neumann mostrou que as duas eram a mesma teoria escrita em coordenadas diferentes, e reescreveu tudo numa linguagem só. O livro Fundamentos matemáticos da mecânica quântica, de 1932, é até hoje a referência para quem quer a teoria com todo o rigor.

Estados são vetores

Na linguagem de von Neumann, o estado de um sistema físico é um vetor de comprimento 1 num espaço de Hilbert, um espaço com produto escalar, como o plano ou o espaço de três dimensões, mas possivelmente com infinitas dimensões. Num exemplo mínimo, um sistema que, ao ser medido, só pode dar dois resultados, “para cima” ou “para baixo”, tem estados no plano:

$$\psi = a\,\mathbf{e}_\uparrow + b\,\mathbf{e}_\downarrow, \qquad a^2 + b^2 = 1.$$

A regra que liga o vetor ao laboratório, proposta por Max Born e organizada por von Neumann, é: a probabilidade de cada resultado é o quadrado da componente correspondente. Com $a = \frac35$ e $b = \frac45$,

$$P(\uparrow) = \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{9}{25} = 36\%, \qquad P(\downarrow) = \left(\tfrac45\right)^2 = \tfrac{16}{25} = 64\%.$$

A condição $a^2 + b^2 = 1$, o vetor ter comprimento 1, é o teorema de Pitágoras dizendo que as probabilidades somam 100%.

Esquema do experimento de Stern–Gerlach: um feixe de átomos atravessa um campo magnético não uniforme e se separa em dois feixes. Os dois resultados possíveis ilustram a base usada no exemplo de estado quântico do texto; a figura não representa uma trajetória do vetor no espaço de Hilbert.
Esquema do experimento de Stern–Gerlach: um feixe de átomos atravessa um campo magnético não uniforme e se separa em dois feixes. Os dois resultados possíveis ilustram a base usada no exemplo de estado quântico do texto; a figura não representa uma trajetória do vetor no espaço de Hilbert.Tatoute · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

Medir é projetar

Depois da medida, o sistema não continua em $\psi$: ele passa a estar no estado que corresponde ao resultado obtido, $\mathbf{e}_\uparrow$ ou $\mathbf{e}_\downarrow$. Von Neumann escreveu isso como uma projeção do vetor sobre um eixo, e chamou de operadores as grandezas que se medem, como a energia ou a posição. Os valores que uma medida pode dar são os autovalores desses operadores. É a primeira vez que a física de laboratório foi descrita por inteiro com a álgebra linear de dimensão infinita, e foi para isso que von Neumann criou boa parte da teoria dos operadores que hoje se ensina na pós-graduação em matemática.

Exercício: normalizar um estado

Um estado é proporcional a $\mathbf{e}_\uparrow + \mathbf{e}_\downarrow$. Escreva-o com comprimento 1 e calcule as probabilidades.

O comprimento de $(1, 1)$ é $\sqrt{2}$, então o estado é $\psi = \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\uparrow + \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\downarrow$. As probabilidades são $\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \frac12$ para cada resultado: uma moeda honesta quântica.

Exercício: o ângulo e a probabilidade

Se o estado faz um ângulo $\theta$ com o eixo $\mathbf{e}_\uparrow$, isto é, $\psi = \cos\theta\,\mathbf{e}_\uparrow + \operatorname{sen}\theta\,\mathbf{e}_\downarrow$, qual é $P(\uparrow)$? Para que ângulo ela vale $75\%$?

$P(\uparrow) = \cos^2\theta$. Para $\cos^2\theta = \frac34$, $\cos\theta = \frac{\sqrt3}{2}$, então $\theta = 30°$. A relação fundamental $\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1$ garante, de novo, que as duas probabilidades somam 1.

Fontes: John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (1932) · Grete Hermann, “Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik” (1935) · John S. Bell, “On the problem of hidden variables in quantum mechanics”, Reviews of Modern Physics (1966).

Todos os tópicos de John von Neumann · ← O teorema minimax: como jogar sem ser adivinhado · A arquitetura de von Neumann: o relatório do EDVAC →

Créditos das imagens.