Álgebra

A derivada sem infinitésimos e o teorema do valor médio

No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e ninguém sabia explicar direito por quê. Os $dx$ de Leibniz eram quantidades “infinitamente pequenas”: às vezes eram tratadas como se fossem diferentes de zero, para poder dividir por elas, e logo depois como se fossem zero, para poder desprezá-las. O bispo Berkeley tinha zombado disso em 1734, chamando-as de “fantasmas de quantidades mortas”. Lagrange se incomodava com isso. Em 1797, publicou um livro com um subtítulo que é um programa inteiro:

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Galois aos 15 anos, desenho de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Galois desenhado pelo irmão Alfred, publicado em 1848: página de origem · domínio público. A carta a Auguste Chevalier, 29 de maio de 1832: página de origem · domínio público. O colégio Louis-le-Grand, em Paris, foto de Celette: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura das seis simetrias do triângulo é uma ilustração original. A tabuada do post foi conferida por programa, compondo as permutações dos cantos. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Abel, desenho de Johan Gørbitz, Paris, 1826: página de origem · domínio público. Primeiro volume do Jornal de Crelle, Berlim, 1826: página de origem · domínio público. Túmulo de Abel em Froland, foto de Karl Ragnar Gjertsen: página de origem · CC BY 4.0. Monumento a Abel em Oslo, escultura de Gustav Vigeland, foto de Wolfmann: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura da lemniscata dividida em oito arcos iguais é uma ilustração original. Os pontos foram calculados com a fórmula $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ deduzida no post. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Os multiplicadores de Lagrange: otimizar com uma restrição

Quase toda decisão real é um problema de máximo ou mínimo com restrição. Uma fábrica quer o maior lucro, mas tem uma quantidade limitada de matéria-prima. Uma lata deve guardar 350 ml usando o mínimo de alumínio. Um pêndulo se move como quiser, desde que a bolinha fique presa ao fio. Lagrange encontrou um método único para todos esses problemas. Ele aparece na Mecânica analítica, de 1788, para tratar das amarrações dos sistemas mecânicos, e na Teoria das funções analíticas, de 1797, como regra geral de cálculo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O jogo icosiano e os ciclos hamiltonianos

Em 1856, ainda às voltas com álgebras não comutativas, Hamilton inventou o cálculo icosiano: três símbolos $\iota$, $\kappa$ e $\lambda$, que obedecem às regras $$\iota^2 = 1, \qquad \kappa^3 = 1, \qquad \lambda^5 = 1, \qquad \lambda = \iota\kappa.$$Hoje diríamos que são geradores do grupo das rotações do icosaedro, o sólido de vinte faces triangulares. Hamilton apresentou o cálculo num encontro da British Association em Dublin, em 1857, e percebeu que ele descrevia caminhos ao longo das arestas do dodecaedro, o sólido de doze faces pentagonais e vinte vértices.

October 27, 2026 Iniciar leitura

O legado de Lagrange

Lagrange é a alta pirâmide das ciências matemáticas. — Napoleão Bonaparte, segundo os contemporâneos Lagrange não deixou anedotas de gênio precoce como Pascal, nem uma obra do tamanho da de Euler. Deixou outra coisa: um jeito de fazer matemática. Onde os outros desenhavam, ele calculava; onde os outros achavam um truque para cada problema, ele procurava a regra que explicava todos os truques. Quase tudo o que fez continua nos livros com o seu nome: a equação de Euler-Lagrange, a lagrangiana, os pontos de Lagrange, o teorema de Lagrange, o resto de Lagrange, os multiplicadores de Lagrange.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens de Lagrange

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Joseph-Louis Lagrange, gravura de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Medalhão com o perfil de Lagrange, bronze de Pierre-Jean David d’Angers, Musées d’Angers: página de origem · CC0. Folha de rosto da Méchanique analitique, Paris, 1788: página de origem · domínio público. Estátua de Lagrange em Turim, foto de Twice25, 2009: página de origem · CC BY-SA 3.0. Figuras do blog A capa, o diagrama dos cinco pontos de Lagrange e o gráfico das curvas de mesma área com a reta da restrição são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama dos pontos está fora de escala: L1 e L2 ficam, na verdade, cem vezes mais perto da Terra do que o Sol.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Erros que fazem sentido: as regras falsas

Pergunte a uma turma quanto é $(a+b)^2$ e uma parte responderá $a^2 + b^2$. Pergunte quanto é $\sqrt{9 + 16}$ e alguém dirá $3 + 4 = 7$. Esses erros são tão comuns, e tão parecidos de uma escola para outra, que não podem ser acaso. Eles seguem uma regra. A regra que se estica demais Em 1982, a pesquisadora americana Marilyn Matz estudou os erros de álgebra de estudantes do ensino médio e propôs que muitos deles vêm de regras falsas (malrules) construídas a partir de regras verdadeiras. A mais produtiva de todas é a distributiva:

October 25, 2026 Iniciar leitura

Referências e créditos

Para aprofundar Usiskin, Zalman. Conceptions of school algebra and uses of variables. Em: Coxford, A. F.; Shulte, A. P. (orgs.). The Ideas of Algebra, K–12. Reston: NCTM, 1988, p. 8–19. Tradução brasileira em: As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. Küchemann, Dietmar. Algebra. Em: Hart, K. M. (org.). Children’s Understanding of Mathematics: 11–16. Londres: John Murray, 1981, p. 102–119. Clement, John; Lochhead, Jack; Monk, George S. Translation difficulties in learning mathematics. The American Mathematical Monthly, 88(4), 1981, p. 286–290. MacGregor, Mollie; Stacey, Kaye. Students’ understanding of algebraic notation: 11–15. Educational Studies in Mathematics, 33, 1997, p. 1–19. Philipp, Randolph A. The many uses of algebraic variables. The Mathematics Teacher, 85(7), 1992, p. 557–561. Kieran, Carolyn. The learning and teaching of school algebra. Em: Grouws, D. A. (org.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Nova York: Macmillan, 1992, p. 390–419. Kleiner, Israel. Evolution of the function concept: a brief survey. The College Mathematics Journal, 20(4), 1989, p. 282–300. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. Sobre os sinais cóssicos, as letras de Viète e Descartes, o $f(x)$ e o $\operatorname{sen}^{-1}$ de Herschel. Heath, Thomas L. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge: Cambridge University Press, 1910. Viète, François. In artem analyticem isagoge. Tours: Jamet Mettayer, 1591. l’Hôpital, Guillaume de. Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes. Paris: Imprimerie Royale, 1696. Os textos antigos deste site sobre funções forneceram a ideia da função como frase com um buraco, usada no capítulo 1 e retomada aqui.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Como ler uma letra: roteiro e glossário

Este capítulo mostrou que uma letra pode fazer pelo menos cinco trabalhos diferentes e que a escrita quase nunca diz qual. O roteiro abaixo junta as perguntas que ajudam a descobrir. Cinco perguntas para uma letra Ela esconde um valor ou representa qualquer valor? Se esconde, é uma incógnita, e a tarefa é descobri-la. Se representa qualquer um, a frase é uma lei geral ou uma identidade. Ela se move durante o problema? Se sim, é uma variável, e vale perguntar de quem ela depende e quem depende dela. Ela fica parada enquanto as outras se movem? Então é um parâmetro ou uma constante. Vale perguntar: fixa para sempre, como $\pi$, ou só neste problema, como o $a$ de $ax^2$? Ela está presa a um operador? Se aparece num $\Sigma$, num $\int$, num $\forall$ ou num $\mapsto$, é uma letra ligada, e pode ser trocada por outra sem mudar nada. Que palavra do texto anuncia o papel? “Ache”, “para todo”, “seja”, “quando”, “dado”. Se nenhuma aparece, a convenção do assunto decide, e é bom torná-la explícita. A leitura completa de y = ax² + bx + c $y$ e $x$: variáveis. $x$ é a independente, $y$ a dependente. Juntas, percorrem os pontos de uma parábola. $a$, $b$ e $c$: parâmetros. Fixos durante o problema, escolhem qual parábola. O $a$ precisa ser diferente de zero, ou a curva vira reta. Mudando a pergunta, mudam os papéis. Em “onde a parábola corta o eixo $x$?”, fazemos $y=0$, e o $x$ passa a ser incógnita. Em “que parábola passa por $(1,2)$, $(2,3)$ e $(3,6)$?”, os parâmetros passam a ser as incógnitas, e $x$ e $y$ viram dados: $a+b+c=2$, $4a+2b+c=3$, $9a+3b+c=6$, que dão $a=1$, $b=-2$, $c=3$. Nenhuma letra é muda. Todas importam: trocar $a$ por $k$ exige trocar em todo o texto. Uma linha curta, três papéis diferentes, e cada pergunta reorganiza tudo.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Quando a letra engana: alunos, professores e maçãs

Em 1981, três pesquisadores da Universidade de Massachusetts, John Clement, Jack Lochhead e George Monk, propuseram a calouros de engenharia um problema simples: Escreva uma equação usando as variáveis $E$ e $P$ para a frase: “Nesta universidade, há seis vezes mais estudantes que professores.” Use $E$ para o número de estudantes e $P$ para o número de professores. Cerca de 37% erraram. E quase todos os que erraram escreveram a mesma coisa:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Letras mudas: o k da soma e o t da integral

Estas duas expressões valem o mesmo: $$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$Trocar $k$ por $j$ não mudou nada. A letra está ali só para marcar por onde a conta passa; terminada a soma, ela desaparece. Letras assim se chamam mudas, ou ligadas. Elas são o contrário das incógnitas: uma incógnita guarda um valor que importa; uma letra muda não guarda valor nenhum depois que a operação acaba. Livres e ligadas Agora compare: $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$Aqui há duas letras de natureza diferente. O $k$ é ligado pela soma: só existe entre o $\Sigma$ e o fim da expressão, e poderia ser trocado por qualquer outra letra. O $n$ é livre: o resultado depende dele. Trocar $n$ por $m$ dá outra afirmação, sobre outro número.

October 15, 2026 Iniciar leitura