Álgebra

Inverter a integral: as funções elípticas

Comece por uma função conhecida, vista de um jeito estranho. A integral $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$dá o comprimento de um arco de círculo de raio 1, medido a partir do ponto mais baixo, em função da altura $x$. É uma função complicada. Mas a sua inversa, que dá a altura em função do arco, é o seno, a função mais simples da trigonometria. E o seno tem uma propriedade que a integral esconde: é periódico. Como um quarto de volta mede

October 16, 2026 Iniciar leitura

Os pontos de Lagrange: onde a gravidade se equilibra

Em 25 de dezembro de 2021, um foguete partiu da Guiana Francesa levando o telescópio espacial James Webb. Ele não foi colocado em órbita da Terra, como o Hubble. Viajou um mês até um ponto vazio do espaço, a 1,5 milhão de quilômetros daqui, sempre do lado oposto ao Sol, e ficou lá. O endereço desse ponto sai de um trabalho premiado de Lagrange, de 1772. Chama-se L2. Três corpos Newton resolveu por completo o movimento de dois corpos que se atraem, como o Sol e um planeta: cada um descreve uma elipse. Com três corpos, por exemplo o Sol, a Terra e a Lua, tudo se complica. Cada corpo puxa os outros dois, e o movimento pode ficar caótico. Os matemáticos do século XVIII sabiam que não ia ser fácil, e a Academia de Paris pôs o problema várias vezes como tema de prêmio.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Os quatérnios: a fórmula da ponte

Depois de mostrar que os complexos são pares de números reais e que a sua multiplicação gira o plano, Hamilton quis fazer o mesmo no espaço. Procurava tripletos $a + bi + cj$, com uma multiplicação que respeitasse a lei dos módulos: o tamanho do produto deveria ser o produto dos tamanhos. Tentou durante anos, sobretudo em 1843, a ponto de os filhos lhe perguntarem toda manhã se já sabia multiplicar tripletos.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Os imaginários de Galois: os corpos finitos

Em junho de 1830, aos 18 anos, Galois publicou um artigo curto, Sobre a teoria dos números, num boletim científico de Paris. Nele inventou números novos, que chamou de imaginários, para um mundo em que só existem finitos números. Por mais de um século, o artigo pareceu uma curiosidade. Hoje, ele está dentro de todo celular. Contar com restos Na aritmética do relógio, contamos só com os restos da divisão por um número fixo. Com o número 5, só existem $0, 1, 2, 3, 4$, e as contas “dão a volta”:

October 16, 2026 Iniciar leitura

Dividir a lemniscata com régua e compasso

Em 1694, Jakob Bernoulli estudou uma curva em forma de oito deitado, que chamou de lemniscus, uma fita de laço. Com os focos nos pontos $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$, ela é o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias aos dois focos vale $\frac12$. A equação é $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$ou, em coordenadas polares, $r^2=\cos2\theta$. Abel, um século e meio depois, provou sobre ela um teorema que parece saído do livro de Euclides: para que números $n$ dá para dividir a lemniscata em $n$ arcos de mesmo comprimento usando só régua e compasso?

October 16, 2026 Iniciar leitura

Quatro quadrados bastam

Pegue um número inteiro positivo qualquer e tente escrevê-lo como soma de quadrados perfeitos, $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, usando o menor número possível de parcelas: $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$Alguns números são quadrados, outros precisam de dois, outros de três. O 7 precisa de quatro: não há outro jeito. Será que algum número precisa de cinco? Em 1770, Lagrange provou que não: Todo número inteiro positivo é soma de quatro quadrados de inteiros.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A desigualdade de Cauchy

O Curso de análise de 1821 termina com nove notas, uma espécie de apêndice com resultados que Cauchy não quis pôr no corpo do texto. A segunda, sobre as desigualdades, contém duas joias que qualquer estudante de olimpíada conhece. A desigualdade O teorema de Cauchy diz que, para quaisquer números reais $a_1, \ldots, a_n$ e $b_1, \ldots, b_n$, $$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2),$$com igualdade só quando as duas listas são proporcionais.

October 31, 2026 Iniciar leitura

Duplicar o cubo e trissectar o ângulo: as construções impossíveis

Os gregos deixaram três problemas de construção que ninguém conseguiu resolver com régua e compasso, as ferramentas dos Elementos de Euclides: Duplicar o cubo: construir a aresta de um cubo com o dobro do volume de um cubo dado. Trissectar o ângulo: dividir um ângulo qualquer em três partes iguais. Quadrar o círculo: construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado. Conta a lenda que, durante uma peste, o oráculo de Delos mandou os atenienses dobrarem o altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo. Eles dobraram a aresta, o volume ficou oito vezes maior, e a peste continuou. Por dois mil anos, os matemáticos tentaram. A resposta só veio no século XIX, com as ideias de Gauss e de Galois: é impossível.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Grupos abelianos: quando a ordem não importa

Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano. A última memória Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

October 16, 2026 Iniciar leitura

Permutar as raízes: o teorema de Lagrange

Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5. Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de Évariste Galois

Esta carta, se julgada pela novidade e pela profundidade das ideias que contém, é talvez o escrito mais substancial de toda a literatura da humanidade. — Hermann Weyl, Simetria (1952) Galois deixou umas sessenta páginas de matemática, e boa parte delas escrita às pressas. Demorou meio século para que fossem entendidas. Quando foram, mudaram a própria ideia do que é a matemática: em vez de estudar números e figuras, estudar as transformações que os deixam iguais.

October 16, 2026 Iniciar leitura

O legado de Niels Henrik Abel

Abel deixou aos matemáticos trabalho para cento e cinquenta anos. — Frase atribuída a Charles Hermite Abel trabalhou como matemático por menos de oito anos. Nesse tempo, fechou a questão mais antiga da álgebra, deu rigor às séries, criou as funções elípticas e escreveu uma memória que só foi entendida inteiramente décadas depois da sua morte. O seu nome está hoje em mais lugares da matemática que o de quase qualquer outro: grupos abelianos, integrais abelianas, funções abelianas, variedades abelianas, o teorema de Abel, a soma de Abel, o teste de Abel.

October 16, 2026 Iniciar leitura