Ângulos

Ângulos e suas medidas

Um ângulo é a “abertura” entre duas semirretas de mesma origem. Para medi-lo, transportamos a pergunta para um arco: o ângulo mede o mesmo que o arco que ele determina numa circunferência centrada no seu vértice. A história Os Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) definem o ângulo plano como “a inclinação, uma em relação à outra, de duas linhas num plano que se encontram e não estão em linha reta”. A definição parece simples, mas os gregos discutiram durante séculos o que é, afinal, um ângulo: uma quantidade, que se pode somar e comparar? uma qualidade, como uma forma? ou uma relação entre duas linhas? Quem conta essa disputa é Proclo, no século V, no seu comentário a Euclides. A saída que adotamos — medir o ângulo pelo arco que ele determina numa circunferência centrada no vértice — deixa a pergunta filosófica de lado e transforma o ângulo num número.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Ângulos: giros e cantos

Quando você abre uma porta, gira a maçaneta ou vira à direita numa esquina, você está fazendo um giro. O tamanho desse giro é o que chamamos de ângulo. Quanto você girou? Uma volta inteira: você gira até olhar de novo para o mesmo lugar. Meia volta: você fica de costas para onde estava olhando. Um quarto de volta: você vira para o lado, como numa esquina. Esse giro forma um ângulo reto. Os matemáticos dividem a volta inteira em 360 partes iguais, chamadas graus (°). Então meia volta tem 180°, e um quarto de volta tem 90°.

October 8, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 3 — Ângulos

Exercícios e resoluções A calculadora abaixo faz, passo a passo, as contas com graus, minutos e segundos dos exercícios 29 a 33. Tente resolver primeiro e use-a para conferir. Digite os ângulos e escolha a operação. Ela mostra cada passo: 60″ viram 1′ e 60′ viram 1°. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 29 Simplifique as seguintes medidas: a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $31^{\circ}10^{\prime}$ · b) $47^{\circ}30^{\prime}$ · c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ · d) $111^{\circ}3^{\prime}$ · e) $31^{\circ}$

October 2, 2026 Iniciar leitura

Ângulo reto, agudo e obtuso — medida

Por que uma volta completa tem 360 graus, e não 100? A resposta está na astronomia da Mesopotâmia. Quem descobriu Os nomes reto, agudo e obtuso vêm de Euclides, que os define nos Elementos (definições I.10 a I.12): reto é o ângulo igual ao seu adjacente suplementar; agudo, o menor que o reto; obtuso, o maior. A medida em graus tem outra origem, a astronomia babilônica, como conta a curiosidade “Por que 360 graus?”, mais abaixo. Já as palavras minuto e segundo vêm das traduções latinas de Cláudio Ptolomeu (século II d.C.).

October 2, 2026 Iniciar leitura

Congruência e comparação

Copiar um ângulo e dividi-lo ao meio são construções clássicas. Dividi-lo em três partes iguais, porém, desafiou matemáticos por mais de dois mil anos. Quem descobriu As duas construções estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.9 divide um ângulo ao meio (a bissetriz) e a I.23 copia um ângulo dado sobre outra reta. Já a trissecção do ângulo com régua e compasso — dividir qualquer ângulo em três partes iguais — foi provada impossível em 1837 pelo francês Pierre Wantzel, então com pouco mais de 20 anos.

October 2, 2026 Iniciar leitura

Ângulo: definições

Duas semirretas com a mesma origem formam um ângulo. E o primeiro teorema sobre ângulos tem até um descobridor com nome. Quem descobriu Segundo Proclo (século V d.C.), que citava a História da Geometria de Eudemo de Rodes, foi Tales de Mileto (c. 624–546 a.C.) quem primeiro percebeu que ângulos opostos pelo vértice são iguais; Euclides só depois o demonstrou “cientificamente”, na proposição I.15. A definição de ângulo como “inclinação de duas linhas” está nos Elementos de Euclides (definição I.8).

October 2, 2026 Iniciar leitura

Introdução: convexidade e semiplanos

Uma reta divide o plano em dois lados. Uma figura é convexa quando não tem “reentrâncias”. As duas ideias andam juntas. Quem descobriu O primeiro a definir com cuidado uma figura convexa foi Arquimedes de Siracusa (c. 287–212 a.C.), na obra Sobre a esfera e o cilindro, onde usa curvas “côncavas para o mesmo lado” para comparar perímetros. A separação do plano por uma reta foi formalizada por Moritz Pasch em 1882: seu axioma diz que uma reta que entra num triângulo por um lado precisa sair por outro. No fim do século XIX, Hermann Minkowski fez da convexidade uma área própria da matemática.

October 2, 2026 Iniciar leitura

Ângulos e Circunferências

O aprendizado sobre ângulos em circunferências é fundamental. Este conceito foi muito abordado por Euclides e pelos gregos em geral, como Pitágoras e Arquimedes. Arco Definição: Sejam $A$ e $B$ pontos de uma circunferência em um plano. A reta $\vec{AB}$ (arco) separa o plano em dois semiplanos, cada um contendo uma parte da circunferência. Ângulo Central Definição: Sejam $A$ e $B$ pontos de uma circunferência em um plano de centro $C$. O ângulo $\angle ACB$ central determinadado por $A$ e $B$ ou determinado pela corda $AB$.

September 30, 2022 Iniciar leitura

Ângulos em planos básicos

Os ângulos são peças chave para o desenvolvimento da geometria. Ela está presente em nosso cotidiano como escadas, guindastes de prédios, construções como a torre de Pisa, dentre outros. No livro Elementos de Euclides, este conceito foi bem trabalhado, mesmo em décadas antes de Cristo. Exemplos de aplicações de ângulos A seguir, apresentamos algumas aplicações de ângulos. Guindaste de Prédio Torre de Pisa Escada Um exemplo muito usado é o relógio, com movimento dos ponteiros de horas e minutos, os ângulos são formados e o horário definido.

August 28, 2022 Iniciar leitura

Propriedade de Ângulos em planos

No post anterior falamos de várias definições importantes para os ângulos em figuras planas. Agora, aprofundamos os conceitos através das propriedades dos ângulos para aplicações em figuras planas. Bissetriz de um ângulo Definição: a bissetriz de um ângulo é uma semirreta, que inicia do vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes ($\cong$). A bissetriz produz dois ângulos congruentes. Ampliar figura para ler os detalhes Da figura, notamos que

August 28, 2022 Iniciar leitura