Um ângulo é a “abertura” entre duas semirretas de mesma origem. Para medi-lo, transportamos a pergunta para um arco: o ângulo mede o mesmo que o arco que ele determina numa circunferência centrada no seu vértice.

A história

Os Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) definem o ângulo plano como “a inclinação, uma em relação à outra, de duas linhas num plano que se encontram e não estão em linha reta”. A definição parece simples, mas os gregos discutiram durante séculos o que é, afinal, um ângulo: uma quantidade, que se pode somar e comparar? uma qualidade, como uma forma? ou uma relação entre duas linhas? Quem conta essa disputa é Proclo, no século V, no seu comentário a Euclides. A saída que adotamos — medir o ângulo pelo arco que ele determina numa circunferência centrada no vértice — deixa a pergunta filosófica de lado e transforma o ângulo num número.

O mostrador do relógio também tem raízes antigas: a divisão do dia e da noite em 12 horas vem dos egípcios, e os 60 minutos de cada hora, da base 60 dos babilônios. O ponteiro dos minutos, porém, só se tornou comum depois que Christiaan Huygens construiu o relógio de pêndulo, em 1656, o primeiro preciso o bastante para que ele fizesse sentido.

Figura da *Escola de Atenas*, de Rafael, tradicionalmente identificada como Eudemo de Rodes; identificação incerta.
Figura da Escola de Atenas, de Rafael, tradicionalmente identificada como Eudemo de Rodes; identificação incerta.Rafael Sanzio; recorte da reprodução por Jic e FranksValli · Wikimedia Commons · Domínio público
Como Tales calculava a distância de um navio, segundo Eudemo: do alto de uma torre de altura $H$, mira-se o navio; os triângulos $TKJ$ e $TBN$ são semelhantes, então $D/H = d/h$.

A notação dos ângulos. Euclides escrevia “o ângulo $ABC$” por extenso. Os sinais para “ângulo” e “ângulo reto” só apareceram no século XVII, e por mais de dois séculos cada autor usou o seu:

  1. 1618
    Kepler, no Epitome astronomiae Copernicanae, usa um sinal para o ângulo reto.
  2. 1634
    Pierre Hérigone, no Cursus mathematicus, cria sinais para “ângulo” e “ângulo reto” — o seu livro é cheio de símbolos novos.
  3. 1672–1698
    William Leybourn, John Kersey e Samuel Reyher propõem outras formas nos seus livros de geometria e álgebra.
  4. 1794
    Legendre, nos Éléments de géométrie, um dos livros de geometria mais lidos do século XIX.
  5. 1827
    Möbius, no Der barycentrische Calcul.
  6. 1847
    Oliver Byrne publica os Elementos de Euclides em cores, com os ângulos desenhados em vez de nomeados.
  7. 1897
    Giuseppe Peano, no Formulario mathematico, tenta padronizar toda a notação da matemática.

Fontes: Eudemo (MacTutor) · Euclides (MacTutor) · Aulo Gélio, Noites áticas, XIII.5 · Euclides, Elementos, livro I, definição 8 · F. Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. I (1928).

No dia a dia

  • Manobras. No skate e no snowboard, as manobras têm nome de ângulo: um 180 é meia-volta, um 360 é uma volta inteira e um 540 é uma volta e meia.
  • Pistas de aeroporto. O número pintado na cabeceira é o rumo da pista dividido por 10: a pista 09 aponta para $90^\circ$ (leste) e, vista do outro lado, é a 27, rumo $270^\circ$ (oeste).
  • Televisão. Recomenda-se que a tela ocupe entre $30^\circ$ e $40^\circ$ do campo de visão; por isso a distância ideal até o sofá depende do tamanho da TV.
Rumos medidos em graus: mova o rumo e veja para onde apontam as componentes. As pistas de aeroporto e os mapas usam a mesma ideia.

Teoria

Ângulos de duas semirretas

Considere duas semirretas $Oa$ e $Ob$ de mesma origem $O$, distintas e não opostas.

  • A reta que contém $Oa$ divide o plano em dois semiplanos opostos: $\alpha$, que contém $Ob$, e $\alpha'$, que não contém $Ob$.
  • A reta que contém $Ob$ divide o plano em dois semiplanos opostos: $\beta$, que contém $Oa$, e $\beta'$, que não contém $Oa$.

DefiniçãoÂngulo convexo e ângulo côncavo

  • O ângulo convexo $a\hat{O}b$ é a intersecção dos semiplanos $\alpha$ e $\beta$: $\;a\hat{O}b = \alpha \cap \beta$.
  • O ângulo côncavo $a\hat{O}b$ é a reunião dos semiplanos $\alpha'$ e $\beta'$: $\;a\hat{O}b = \alpha' \cup \beta'$.
O ângulo convexo (à esquerda) é a parte comum de $\alpha$ e $\beta$; o ângulo côncavo (à direita) é a reunião de $\alpha'$ e $\beta'$ — tudo o que fica fora do convexo, mais os lados.

DefiniçãoCasos particulares

  • Se as semirretas $Oa$ e $Ob$ coincidem, elas determinam dois ângulos: o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
  • Se as semirretas $Oa$ e $Ob$ são opostas, elas determinam dois ângulos rasos.

Medida de ângulos

Dado um ângulo $a\hat{O}b$, tome uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, e sejam $A$ e $B$ os pontos em que os lados do ângulo a interceptam. A cada arco $\overset{\frown}{AB}$ corresponde um único ângulo central $a\hat{O}b$, e vice-versa.

DefiniçãoMedida de um ângulo

Convencionamos que a um arco unitário corresponde um ângulo central unitário. Então o arco $\overset{\frown}{AB}$ e o ângulo central $a\hat{O}b$ têm a mesma medida.

  1. O ângulo de $1^\circ$ é o ângulo central que determina na circunferência um arco igual a $\dfrac{1}{360}$ dela.
  2. O ângulo de 1 rad é o ângulo central que determina um arco de comprimento igual ao raio.
  3. O ângulo de $60^\circ$ é o ângulo central correspondente a um arco de $60^\circ$.
  4. O ângulo de $\pi$ rad é o ângulo central correspondente a um arco de $\pi$ rad (o ângulo raso).

Para medir em radianos um ângulo $a\hat{O}b$, construímos uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ e verificamos quantos radianos mede o arco $\overset{\frown}{AB}$, isto é, dividimos o comprimento $\ell$ do arco pelo raio:

PropriedadeÂngulo em radianos

$$\alpha = \frac{\ell}{r} \qquad (\alpha \text{ em radianos}).$$

Equivalentemente, o comprimento de um arco de ângulo central $\alpha$ rad é $\ell = \alpha \cdot r$.

ExemploÂngulo de um arco de 8 cm

Se o ângulo central $a\hat{O}b$ determina, numa circunferência de raio $r = 5$ cm, um arco de comprimento $\ell = 8$ cm, então

$$\alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{8}{5} = 1{,}6 \text{ rad}.$$

A medida não depende da circunferência escolhida. Fixado o ângulo $a\hat{O}b$ de medida $\alpha$ rad e construídas circunferências de centro $O$ e raios $r_1, r_2, r_3, \ldots$, os arcos correspondentes têm comprimentos $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ldots$ tais que

$$\frac{\ell_1}{r_1} = \frac{\ell_2}{r_2} = \frac{\ell_3}{r_3} = \cdots = \alpha.$$
Arraste o ponto amarelo para abrir ou fechar o ângulo. Os três arcos têm comprimentos diferentes, mas a razão entre arco e raio é a mesma: a medida do ângulo em radianos.
Por que a razão não depende do raio?

Duas circunferências de mesmo centro são figuras semelhantes: uma é ampliação da outra, com razão $k = \dfrac{r_2}{r_1}$. Numa ampliação, todos os comprimentos são multiplicados por $k$, inclusive o arco determinado pelo mesmo ângulo: $\ell_2 = k\,\ell_1$. Logo

$$\frac{\ell_2}{r_2} = \frac{k\,\ell_1}{k\,r_1} = \frac{\ell_1}{r_1}.$$

Ângulos no relógio

O mostrador de um relógio é uma circunferência dividida em 12 partes iguais de $30^\circ$. O ponteiro grande percorre $360^\circ$ em 60 minutos ($6^\circ$ por minuto); o pequeno percorre $30^\circ$ em 60 minutos, ou seja, $0{,}5^\circ$ por minuto. Esses dois fatos resolvem os problemas de ângulo entre ponteiros.

Escolha a hora e os minutos. O arco dourado é o menor ângulo entre os ponteiros.

Os exercícios desta seção são os de números 11 a 16 da lista do capítulo.