Análise

A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Grupos abelianos: quando a ordem não importa

Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano. A última memória Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

October 16, 2026 Iniciar leitura

Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O legado de Niels Henrik Abel

Abel deixou aos matemáticos trabalho para cento e cinquenta anos. — Frase atribuída a Charles Hermite Abel trabalhou como matemático por menos de oito anos. Nesse tempo, fechou a questão mais antiga da álgebra, deu rigor às séries, criou as funções elípticas e escreveu uma memória que só foi entendida inteiramente décadas depois da sua morte. O seu nome está hoje em mais lugares da matemática que o de quase qualquer outro: grupos abelianos, integrais abelianas, funções abelianas, variedades abelianas, o teorema de Abel, a soma de Abel, o teste de Abel.

October 16, 2026 Iniciar leitura

A equação do calor e a regularidade de De Giorgi e Nash

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemáticos, em Paris, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas que, para ele, guiariam a matemática do século XX. O problema 19 perguntava, em linguagem simples: as soluções dos problemas “bem comportados” do cálculo das variações são sempre funções suaves? Meio século depois, a pergunta continuava aberta para uma classe importante de equações. Em 1956, Nash ouviu falar dela por um colega e decidiu atacá-la.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Abel, desenho de Johan Gørbitz, Paris, 1826: página de origem · domínio público. Primeiro volume do Jornal de Crelle, Berlim, 1826: página de origem · domínio público. Túmulo de Abel em Froland, foto de Karl Ragnar Gjertsen: página de origem · CC BY 4.0. Monumento a Abel em Oslo, escultura de Gustav Vigeland, foto de Wolfmann: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura da lemniscata dividida em oito arcos iguais é uma ilustração original. Os pontos foram calculados com a fórmula $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ deduzida no post. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 16, 2026 Iniciar leitura

O legado de John Nash

Estatisticamente, pareceria improvável que um matemático ou cientista, aos 66 anos, pudesse, por meio de esforços continuados de pesquisa, acrescentar muito às suas realizações anteriores. Mas eu ainda estou fazendo o esforço. — John Nash, nota autobiográfica para a Fundação Nobel (1994) John Nash é a única pessoa a ter recebido o Prêmio Nobel e o Prêmio Abel, os dois maiores reconhecimentos em economia e em matemática. As duas metades da sua obra parecem não ter nada em comum: uma é sobre decisões humanas, a outra sobre superfícies e equações. O que as une é o estilo: atacar problemas que todos achavam impossíveis com ideias que ninguém tinha tido.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Fotografias e imagens Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de John Nash, foto de Peter Badge: página de origem · CC BY-SA 3.0. John Nash em 2006, em Colônia, foto de Elke Wetzig: página de origem · CC BY-SA 3.0. Imersão isométrica do toro plano, projeto Hevea, enviada por Romainbehar: página de origem · CC0. Figuras do blog A capa, o tabuleiro de Hex e o gráfico do produto dos ganhos na barganha são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O tabuleiro mostra uma partida inventada, em que o vermelho completou a sua corrente.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O legado de Augustin-Louis Cauchy

Cauchy é louco, e não há nada a fazer com ele; no entanto, é hoje quem sabe como a matemática deve ser feita. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (1826) Cauchy publicou cerca de 800 artigos e sete livros. As Obras completas, editadas pela Academia de Ciências, saíram entre 1882 e 1974 em 27 grossos volumes. Entre os matemáticos, só Euler e muito poucos outros deixaram uma obra comparável em tamanho.

October 31, 2026 Iniciar leitura