Euler's Eyes
2026-10-31
O legado de Augustin-Louis Cauchy
Cauchy é louco, e não há nada a fazer com ele; no entanto, é hoje quem sabe como a matemática deve ser feita.
— Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (1826)
Cauchy publicou cerca de 800 artigos e sete livros. As Obras completas, editadas pela Academia de Ciências, saíram entre 1882 e 1974 em 27 grossos volumes. Entre os matemáticos, só Euler e muito poucos outros deixaram uma obra comparável em tamanho.
O que leva o seu nome
- A sequência de Cauchy e o critério de Cauchy para a convergência, a base da definição dos números reais por Cantor.
- O teste da raiz, o teste da condensação e o produto de Cauchy de duas séries.
- A desigualdade de Cauchy–Schwarz e a prova de Cauchy da desigualdade das médias.
- O teorema do valor médio de Cauchy, que justifica a regra de l’Hôpital.
- As equações de Cauchy–Riemann, o teorema integral de Cauchy, a fórmula integral de Cauchy e o teorema dos resíduos.
- O valor principal de Cauchy, que dá sentido a integrais como $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$ cortando simetricamente em torno do ponto problemático.
- O problema de Cauchy para as equações diferenciais, que pergunta se os valores iniciais determinam a solução, e o teorema de Cauchy–Kovalevskaya, que o responde para as funções analíticas.
- O tensor das tensões de Cauchy na mecânica dos sólidos e a fórmula de dispersão de Cauchy na óptica.
- A fórmula de Cauchy–Binet para os determinantes e o teorema de Cauchy sobre os grupos finitos.
- O teorema de rigidez de Cauchy para os poliedros convexos.
- A equação funcional de Cauchy, $f(x + y) = f(x) + f(y)$, estudada no Curso de análise.
- A distribuição de Cauchy da probabilidade, que tem a forma da curva de Agnesi e não tem média.
O rigor
O que mais pesou foi a mudança de atitude. Depois de Cauchy, um resultado de análise só vale se for demonstrado a partir de definições claras, e as definições são as dele: limite, convergência, continuidade, derivada, integral. A geração seguinte, de Weierstrass, Dedekind e Cantor, completou o trabalho, corrigindo os pontos onde Cauchy tinha confiado demais na intuição, como na convergência uniforme. Mas o edifício que reformaram era o de Cauchy.
O homem
Os contemporâneos o descreviam como piedoso, generoso com os pobres, incansável e quase impossível de conviver. Era intransigente na política e na religião, tentava converter os colegas, disputava a prioridade das descobertas com energia e tinha a mão pesada como relator da Academia. Abel e Galois tiveram motivos para se queixar dele, e o engenheiro Jean-Victor Poncelet o acusou de se apropriar das suas ideias sobre geometria projetiva. Ao mesmo tempo, pôs a carreira em risco por fidelidade a um juramento e passou oito anos longe de Paris para não trair as suas convicções. Na vida de Cauchy, é difícil separar o cientista do homem de fé e de partido.
Os lugares
Cauchy é um dos 72 cientistas e engenheiros franceses cujos nomes Gustave Eiffel mandou gravar na Torre Eiffel, em 1889. Há uma cratera Cauchy na Lua, no Mar da Tranquilidade, e ruas com o seu nome em Paris, em Sceaux e em várias cidades da França.
Exercício: a equação funcional de Cauchy
No Curso de análise, Cauchy provou que as únicas funções contínuas com $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos os $x, y$ são as da forma $f(x) = cx$. Refaça o argumento.
Seja $c = f(1)$. Com $x = y = 0$, $f(0) = 2f(0)$, logo $f(0) = 0$. Somando repetidas vezes, $f(n) = nf(1) = cn$ para todo inteiro positivo $n$, e com $f(x) + f(-x) = f(0) = 0$ isso vale também para os negativos. Para $q$ inteiro positivo, $c = f(1) = f\!\left(q \cdot \frac{1}{q}\right) = q\,f\!\left(\frac{1}{q}\right)$, então $f\!\left(\frac{1}{q}\right) = \frac{c}{q}$ e $f\!\left(\frac{p}{q}\right) = c\,\frac{p}{q}$. A fórmula vale em todos os racionais. Todo real é limite de racionais, e como $f$ é contínua, $f(x) = cx$ para todo $x$.
Exercício: um artigo a cada três semanas
Cauchy publicou cerca de 800 artigos entre 1811 e 1857. Quantos artigos por ano isso dá, em média? E de quantos em quantos dias?
São $1857 - 1811 = 46$ anos. $\frac{800}{46} \approx 17$ artigos por ano, ou um artigo a cada $\frac{365}{17} \approx 21$ dias: três semanas, durante quase meio século, interrompidos por revoluções e exílio.
Fontes: Bruno Belhoste, Augustin-Louis Cauchy: A Biography (1991) · Académie des sciences, Œuvres complètes d’Augustin Cauchy (1882–1974) · Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus (1981) · Hans Freudenthal, “Cauchy, Augustin-Louis”, Dictionary of Scientific Biography, vol. 3 (1971).
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