Equações Diferenciais

A mecânica de Hamilton

Em 1788 Lagrange tinha transformado a mecânica de Newton num conjunto de equações que valiam em quaisquer coordenadas. Hamilton admirava esse livro, que chamou de “uma espécie de poema científico”. Em 1834 e 1835, nos dois ensaios Sobre um método geral em dinâmica, levou a ideia adiante, trazendo para a mecânica o que tinha aprendido com os raios de luz. Posição e momento Lagrange descrevia um sistema pelas posições $q$ e pelas velocidades $\dot q$. Hamilton trocou a velocidade pelo momento $p$ (para uma partícula simples, massa vezes velocidade, $p = m\dot q$) e pôs no centro de tudo uma única função, a hamiltoniana $H(q, p)$, que na maioria dos casos é a energia total: cinética mais potencial,

October 27, 2026 Iniciar leitura

A equação de Laplace

Para saber como um planeta atrai um ponto, é preciso somar a atração de cada um dos seus pedaços. Cada pedaço puxa numa direção diferente, e somar forças é trabalhoso: são vetores, com três componentes cada. Os matemáticos do século XVIII descobriram um atalho, e Laplace fez dele uma ferramenta. Somar números em vez de setas Para uma massa $M$ concentrada num ponto, considere o número $$V = \frac{M}{r},$$em que $r$ é a distância até a massa (deixamos de lado a constante $G$). Esse número, que depois recebeu o nome de potencial, guarda toda a informação da força: as componentes da atração em cada direção são as derivadas de $V$ nessa direção. E a grande vantagem é que, para várias massas, os potenciais simplesmente se somam como números. Primeiro se soma o potencial de todos os pedaços do planeta; depois, com uma derivada, se obtém a força.

October 30, 2026 Iniciar leitura

O método inverso das tangentes

O cálculo diferencial responde a uma pergunta: dada uma curva, qual é a sua tangente em cada ponto? Os matemáticos do século XVII logo perceberam que a pergunta inversa era mais difícil e mais útil: dada uma propriedade que as tangentes devem ter, qual é a curva? Esse problema recebeu o nome de método inverso das tangentes, e é o tema do quarto e último livro das Instituzioni analitiche. Hoje o chamamos de resolver uma equação diferencial.

October 29, 2026 Iniciar leitura

Morfogênese: as manchas do leopardo em equações

Um embrião começa como uma bola de células quase iguais. Mesmo assim, termina com cinco dedos em cada mão, listras numa zebra e manchas num leopardo. De onde vem a forma, se no começo tudo é uniforme? Em 1952, no último grande artigo que publicou, “A base química da morfogênese”, Turing propôs uma resposta matemática que os biólogos levaram décadas para confirmar. Duas substâncias, duas velocidades A ideia é imaginar duas substâncias químicas, que Turing chamou de morfógenos, espalhando-se num tecido. Hoje se costuma descrevê-las assim:

October 18, 2026 Iniciar leitura

A transformada de Laplace

Os logaritmos transformam multiplicações em somas: para multiplicar dois números, soma-se os seus logaritmos e volta-se. A transformada de Laplace faz algo parecido com as equações diferenciais: troca derivadas por multiplicações. Resolve-se uma equação de álgebra e depois se volta. A origem Laplace chegou a essa ideia pela probabilidade. Na Teoria analítica das probabilidades, de 1812, ele organizou os seus cálculos com funções geradoras: em vez de trabalhar com uma sequência de probabilidades, trabalhava com uma única função que guardava todas elas. A versão contínua dessa ideia é uma integral que Euler já tinha usado antes, mas que Laplace explorou sistematicamente:

October 30, 2026 Iniciar leitura

O D que se fatora: a derivada como operador

Escreva $D$ para “derive em relação a $x$”. Então $D(x^3)=3x^2$, $D(\operatorname{sen}x)=\cos x$, e derivar duas vezes é $D(D(f))$, que se abrevia $D^2f$. Até aqui, é só uma abreviação. O interessante começa quando se leva a sério a forma da escrita: se $D^2$ parece um quadrado, por que não tratar $D$ como um número? Uma equação diferencial vira um polinômio Considere a equação $$y''-3y'+2y=0.$$Com o $D$, ela se escreve $D^2y-3Dy+2y=0$, ou, pondo $y$ em evidência,

October 18, 2026 Iniciar leitura

Equações diferenciais: a lei em anagrama, o ∂ e o ∇

Em 1676, o inglês Robert Hooke publicou, no fim de um livro sobre helioscópios, instrumentos para observar o Sol, uma lista de descobertas que ainda não queria revelar. Uma delas vinha assim: $$\textit{ceiiinosssttuv}$$Era um anagrama: as letras de uma frase em latim, embaralhadas e postas em ordem alfabética. Era um jeito de registrar a prioridade de uma descoberta sem entregá-la aos rivais. Dois anos depois, em 1678, Hooke revelou a frase: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Quanto mais se estica uma mola, mais forte ela puxa de volta. Hoje escrevemos isso em quatro sinais:

October 10, 2026 Iniciar leitura