Escreva $D$ para “derive em relação a $x$”. Então $D(x^3)=3x^2$, $D(\operatorname{sen}x)=\cos x$, e derivar duas vezes é $D(D(f))$, que se abrevia $D^2f$. Até aqui, é só uma abreviação. O interessante começa quando se leva a sério a forma da escrita: se $D^2$ parece um quadrado, por que não tratar $D$ como um número?

Uma equação diferencial vira um polinômio

Considere a equação

$$y''-3y'+2y=0.$$

Com o $D$, ela se escreve $D^2y-3Dy+2y=0$, ou, pondo $y$ em evidência,

$$(D^2-3D+2)\,y=0.$$

E agora o passo ousado: fatorar o “polinômio” em $D$ como se fosse um polinômio em $r$:

$$(D-1)(D-2)\,y=0.$$

Se $(D-1)y=0$, então $y'=y$, e $y=e^{x}$. Se $(D-2)y=0$, então $y'=2y$, e $y=e^{2x}$. As soluções da equação são as combinações

$$y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}.$$

O que acabou de acontecer é que uma equação diferencial foi resolvida com álgebra de ensino médio. A notação $D$ transformou a pergunta “que função satisfaz esta relação entre as suas derivadas?” na pergunta “quais são as raízes de $r^2-3r+2$?”. Os livros chamam esse polinômio de equação característica, e o método funciona para qualquer equação linear com coeficientes constantes.

Taylor numa exponencial

O truque vai mais longe. A série de Taylor diz que

$$\begin{aligned} f(x+h)&=f(x)+h\,f'(x)\\ &\quad+\frac{h^2}{2!}f''(x)+\frac{h^3}{3!}f'''(x)+\cdots \end{aligned}$$

Com o $D$, isso fica

$$\begin{aligned} f(x+h)&=\Bigl(1+hD+\frac{(hD)^2}{2!}\\ &\qquad+\frac{(hD)^3}{3!}+\cdots\Bigr)f(x). \end{aligned}$$

E a série entre parênteses é a série da exponencial, com $hD$ no lugar do número. Então

$$f(x+h)=e^{hD}f(x).$$

Deslocar uma função por $h$ é aplicar a ela a exponencial da derivada. Uma frase assim não faz sentido nenhum se lida literalmente, e faz todo o sentido se lida como uma regra de manipulação que dá resultados corretos.

Boole e Heaviside

Oliver Heaviside (1850–1925), engenheiro e físico inglês autodidata, que resolvia os circuitos do telégrafo com o cálculo de operadores antes de alguém saber prová-lo.
Oliver Heaviside (1850–1925), engenheiro e físico inglês autodidata, que resolvia os circuitos do telégrafo com o cálculo de operadores antes de alguém saber prová-lo.autor desconhecido · Wikimedia Commons · domínio público

Em 1844, George Boole, o mesmo da álgebra da lógica, publicou um artigo premiado sobre esse “cálculo de operadores”. Mas quem levou a ideia ao extremo foi o inglês Oliver Heaviside, um telegrafista que estudou sozinho. Nos anos 1880 e 1890, ele resolvia as equações dos cabos submarinos tratando $D$ como número, tirando raízes quadradas de $D$ e dividindo por ele, sem se preocupar em justificar.

Os matemáticos de Cambridge reclamaram da falta de rigor. Heaviside respondeu com uma frase que ficou famosa:

Devo recusar o meu jantar só porque não entendo completamente o processo da digestão?

— atribuída a Oliver Heaviside

Os resultados estavam certos. A justificação veio décadas depois, com a transformada de Laplace, que transforma derivação em multiplicação por um número e torna rigoroso o que Heaviside fazia de olho. É um caso raro e bonito em que a notação chegou antes da teoria: a escrita sugeriu contas, as contas funcionaram, e só depois se entendeu por quê.

Exercício: confira a solução

Verifique que $y=e^{2x}$ satisfaz $y''-3y'+2y=0$.

$y'=2e^{2x}$ e $y''=4e^{2x}$. Então $4e^{2x}-3\cdot2e^{2x}+2e^{2x}=(4-6+2)e^{2x}=0$. O fator $4-6+2$ é o polinômio $r^2-3r+2$ calculado em $r=2$.

Exercício: e^{hD} aplicado a x²

Calcule $e^{hD}x^2$ somando a série.

$Dx^2=2x$, $D^2x^2=2$ e $D^3x^2=0$, então a série para no terceiro termo: $x^2+h\cdot2x+\frac{h^2}{2}\cdot2=x^2+2hx+h^2=(x+h)^2$. A exponencial da derivada de fato deslocou a função.

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