Euler

A vida de Leonhard Euler

Linha do tempo 1707Nasce em 15 de abril, em Basileia, na Suíça. 1720Entra na Universidade de Basileia, aos 13 anos. Passa a estudar com Johann Bernoulli. 1727Muda-se para a Academia de Ciências de São Petersburgo, na Rússia. 1735Resolve o problema de Basileia e analisa as pontes de Königsberg. 1738Perde quase toda a visão do olho direito. 1741Vai para a Academia de Berlim, a convite de Frederico II da Prússia. 1748Publica a Introductio in analysin infinitorum, onde aparece $e^{ix} = \cos x + i \sin x$. 1750Em carta a Goldbach, enuncia a fórmula dos poliedros $V - A + F = 2$. 1766Volta a São Petersburgo, a convite de Catarina, a Grande. Uma catarata atinge o olho esquerdo. 1771Uma cirurgia de catarata fracassa e ele fica praticamente cego. Continua trabalhando. 1783Morre em 18 de setembro, em São Petersburgo. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1707–1727 BasileiaNasce e cresce na Suíça. Aos 13 anos entra na universidade e passa a ter aulas de sábado com Johann Bernoulli. 1727 LübeckDesce o Reno de barco, atravessa a Alemanha de carruagem e embarca em Lübeck para a Rússia. 1727–1741 São PetersburgoTrabalha na Academia de Ciências. Resolve o problema de Basileia, estuda as pontes de Königsberg e perde a visão do olho direito. 1741–1766 BerlimA convite de Frederico II, vai para a Academia de Berlim. Publica a Introductio in analysin infinitorum e a fórmula $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. 1766–1783 São PetersburgoVolta a convite de Catarina, a Grande. Fica quase cego, mas continua ditando artigos até morrer, em 1783. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. As cidades de Euler, de Basileia a São Petersburgo. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

September 29, 2026 Iniciar leitura

A linguagem que Euler nos deixou

Parte da influência de Euler está em coisas que parecem ter existido sempre. Ele criou ou popularizou: $f(x)$ para indicar uma função de $x$; a letra $e$ para a base dos logaritmos naturais, $e \approx 2{,}71828$; a letra $\pi$ para a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro (o símbolo já existia, mas foi Euler quem o espalhou); $i$ para a unidade imaginária, com $i^2 = -1$; $\Sigma$ para indicar uma soma. O sinal de igual e a letra π Os símbolos têm data de nascimento. O sinal $=$ foi inventado pelo galês Robert Recorde em 1557, no livro The Whetstone of Witte, para não ter de escrever “é igual a” o tempo todo. Ele escolheu dois traços paralelos do mesmo comprimento porque, explicou, nenhuma coisa pode ser mais igual. A letra $\pi$, inicial da palavra grega periphéreia, a circunferência, foi usada pela primeira vez com o sentido de hoje por outro galês, William Jones, em 1706. Euler passou a usá-la nos anos 1730, e os seus livros a tornaram padrão.

September 29, 2026 Iniciar leitura

O problema de Basileia

Em 1650, Pietro Mengoli perguntou quanto vale a soma dos inversos dos quadrados: $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ Os Bernoulli tentaram e não conseguiram. A soma cresce devagar: com 10 termos dá $1{,}5498$, com 100 termos dá $1{,}6350$, com 1000 termos dá $1{,}6439$. Ninguém reconhecia o número para onde ela caminhava. Veja na figura: cada barra é a soma até $N$ termos.

September 29, 2026 Iniciar leitura

O número $e$ e os juros compostos

1 2 3 4 Explore a cena: toque nos números. Pelo teclado, use Tab e Enter ou as setas. 1. Cliente: o capital inicial A pessoa diante do balcão representa quem leva uma quantia para uma operação. No exemplo do artigo, começamos com 100 unidades de dinheiro: esse é o capital inicial. 2. Atendimento: conferir as contas A pessoa atrás do balcão representa o atendimento e a conferência dos valores. Para acompanhar uma aplicação no nosso modelo, precisamos conhecer o capital, a taxa e o número de períodos. 3. Moedas: juros sobre juros No exemplo matemático de 100% ao ano, um pagamento anual transforma 100 em 200. Em dois semestres, a taxa de 50% leva 100 a 150 e depois 150 a 225: o segundo pagamento também rende sobre os juros anteriores. 4. Caixa: guardar não é capitalizar Dinheiro guardado não cresce sozinho. Os juros do exemplo vêm de uma regra matemática de remuneração. Explore o gráfico abaixo para comparar pagamentos anuais, mensais e cada vez mais frequentes. Experimentar os juros compostos ↓ Ampliar a gravura Banca, trapeza, mensa: a mesa dos primeiros banqueiros, entre 1450 e 1650.Reconstituição ilustrativa com IA a partir da gravura do acervo Euler’s Eyes

September 29, 2026 Iniciar leitura

A fórmula de Euler e a "equação mais bonita"

O número $e$ pode ser escrito como uma série: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ Euler teve a coragem de colocar um número imaginário no expoente. Trocando $x$ por $i\theta$ e usando $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$: $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ Separando os termos sem $i$ dos termos com $i$:

September 29, 2026 Iniciar leitura

A mola e as equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação em que a incógnita é uma função, e a equação fala das suas derivadas. Euler organizou esse caminho num esquema que usamos até hoje: observar um fenômeno, escrever a equação, encontrar a função que a resolve e desenhar o gráfico. flowchart LR phenomenon((FENÔMENO)) --> equation["EQUAÇÃODIFERENCIAL"] equation --> solution["FUNÇÃOSOLUÇÃO"] solution --> plottedGraph((GRÁFICO)) plottedGraph --> derivative{"DERIVADA"} derivative --> phenomenon derivative -. "localiza" .-> extrema["Pontos de máximoe de mínimo"] classDef phenomenonStyle fill:#e6f1ee,stroke:#397c75,color:#243448,stroke-width:2px classDef equationStyle fill:#eaf0f7,stroke:#58799b,color:#243448,stroke-width:2px classDef solutionStyle fill:#f8efd9,stroke:#b68b3c,color:#243448,stroke-width:2px classDef derivativeStyle fill:#f5e9e3,stroke:#9b6251,color:#243448,stroke-width:2px class phenomenon phenomenonStyle class equation,plottedGraph equationStyle class solution solutionStyle class derivative,extrema derivativeStyle O fenômeno. Em 1678, Robert Hooke resumiu o comportamento de uma mola em latim: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Uma mola de constante $k$, esticada de $x$, puxa de volta com força $F = -kx$.

September 29, 2026 Iniciar leitura

As pontes de Königsberg e o nascimento dos grafos

Königsberg em 1652, com o rio Pregel e suas ilhas. Dá para contar as pontes.Merian-Erben · domínio público A cidade de Königsberg (hoje Kaliningrado, na Rússia) era cortada pelo rio Pregel, que formava duas ilhas. Sete pontes ligavam as quatro regiões da cidade. Os moradores se perguntavam se era possível dar um passeio atravessando cada ponte exatamente uma vez.

September 29, 2026 Iniciar leitura

$V - A + F = 2$ e a bola de futebol

Em 1750, numa carta ao matemático Christian Goldbach, Euler anotou uma relação entre o número de vértices ($V$), arestas ($A$) e faces ($F$) de um poliedro convexo: $$V - A + F = 2.$$ Gire os poliedros com o dedo ou o mouse e confira a conta: V, A e F são contados pelo programa a partir do próprio desenho. Em todos dá 2. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

September 29, 2026 Iniciar leitura

Infinitos números primos a partir de uma soma

Euclides já tinha provado, por volta de 300 a.C., que existem infinitos números primos. Em 1737 Euler encontrou uma prova completamente diferente, que ligou os primos ao cálculo. Para cada primo $p$, a soma de uma progressão geométrica dá $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ Multiplique essas expressões para $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ Cada produto de termos tem a forma $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$. Como todo número natural se escreve de um único jeito como produto de primos, cada fração $\frac{1}{n}$ aparece exatamente uma vez:

September 30, 2026 Iniciar leitura

O número de Fermat que não era primo

Pierre de Fermat acreditava que todos os números da forma $2^{2^n} + 1$ eram primos. Para $n = 0, 1, 2, 3, 4$ dá certo: 3, 5, 17, 257 e 65 537 são primos. O próximo é $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ Testar todos os divisores à mão é impraticável. Em 1732, Euler mostrou que esse número é divisível por 641. Uma forma elegante de ver isso usa duas maneiras de escrever 641:

September 30, 2026 Iniciar leitura

O teorema de Euler e a criptografia

Em 1763, Euler estudou a função $\varphi(n)$ (o símbolo $\varphi$ veio depois, com Gauss): a quantidade de números de 1 a $n$ que não têm fator comum com $n$. Por exemplo, $\varphi(10) = 4$, porque de 1 a 10 só 1, 3, 7 e 9 servem. Ele provou que, se $a$ não tem fator comum com $n$, então $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$ Veja a ideia com $n = 10$ e $a = 3$. Multiplique por 3 os números 1, 3, 7 e 9:

September 30, 2026 Iniciar leitura

Outras contribuições e legado

Outras contribuições A lista completa ocuparia um livro inteiro. Alguns destaques: Reta de Euler: em todo triângulo, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro estão alinhados. Constante de Euler-Mascheroni: $\gamma \approx 0{,}5772$, a diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural. Mecânica e fluidos: as equações de Euler para fluidos e para a rotação de corpos rígidos. Cálculo das variações: a equação de Euler-Lagrange, base da física moderna. Funções especiais: a função gama, que estende o fatorial para números não inteiros. Para lembrar Euler viveu entre Basileia, São Petersburgo e Berlim, e produziu metade da obra já quase cego. Ele deu à matemática a notação $f(x)$, $e$, $i$, $\Sigma$ e popularizou $\pi$. Descobriu que $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ e que $e^{i\pi} + 1 = 0$. Batizou o número $e = \lim (1 + 1/n)^n$, que nasce dos juros compostos e é a base do logaritmo natural. Resolveu a equação da mola com $e^{rt}$ e a sua fórmula: a solução é uma senoide. Com as pontes de Königsberg, criou a teoria dos grafos. Com $V - A + F = 2$, explicou por que toda bola de futebol clássica tem 12 pentágonos. Ligou os números primos ao cálculo e criou o teorema que hoje protege a internet. Todos os tópicos de Leonhard Euler · ← O teorema de Euler e a criptografia · Créditos das imagens →

September 30, 2026 Iniciar leitura