Uma equação diferencial é uma equação em que a incógnita é uma função, e a equação fala das suas derivadas. Euler organizou esse caminho num esquema que usamos até hoje: observar um fenômeno, escrever a equação, encontrar a função que a resolve e desenhar o gráfico.

flowchart LR phenomenon((FENÔMENO)) --> equation["EQUAÇÃO
DIFERENCIAL"] equation --> solution["FUNÇÃO
SOLUÇÃO"] solution --> plottedGraph((GRÁFICO)) plottedGraph --> derivative{"DERIVADA"} derivative --> phenomenon derivative -. "localiza" .-> extrema["Pontos de máximo
e de mínimo"] classDef phenomenonStyle fill:#e6f1ee,stroke:#397c75,color:#243448,stroke-width:2px classDef equationStyle fill:#eaf0f7,stroke:#58799b,color:#243448,stroke-width:2px classDef solutionStyle fill:#f8efd9,stroke:#b68b3c,color:#243448,stroke-width:2px classDef derivativeStyle fill:#f5e9e3,stroke:#9b6251,color:#243448,stroke-width:2px class phenomenon phenomenonStyle class equation,plottedGraph equationStyle class solution solutionStyle class derivative,extrema derivativeStyle

O fenômeno. Em 1678, Robert Hooke resumiu o comportamento de uma mola em latim: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Uma mola de constante $k$, esticada de $x$, puxa de volta com força $F = -kx$.

Uma massa m presa a uma mola de constante k; o deslocamento oscila entre −A e +A em torno do equilíbrio O.
Uma massa m presa a uma mola de constante k; o deslocamento oscila entre −A e +A em torno do equilíbrio O.Diagrama redesenhado com base no esboço do acervo Euler’s Eyes
O tempo t entra no sistema e a posição x sai: x = x(t).
O tempo t entra no sistema e a posição x sai: x = x(t).Diagrama original baseado nos esboços fornecidos
Com F = m·a, F = −kx e a = x″, obtemos a equação diferencial do movimento.
Com F = m·a, F = −kx e a = x″, obtemos a equação diferencial do movimento.Diagrama original baseado nos esboços fornecidos

A equação. Pela segunda lei de Newton, $F = m \cdot a$, e a aceleração é a segunda derivada da posição, $x''$. Então

$$-kx = m\,x'' \quad\Longrightarrow\quad x'' + \frac{k}{m}\,x = 0.$$

A função solução. Procuramos uma função cuja segunda derivada seja ela mesma multiplicada por um número negativo. O truque de Euler (1743) foi tentar $x = e^{rt}$, já que derivar $e^{rt}$ só faz aparecer o fator $r$:

$$r^2 e^{rt} + \frac{k}{m}\,e^{rt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{k}{m} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm\, i\,\omega, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Apareceu um número imaginário! É aqui que a fórmula de Euler entra: $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)$. Juntando as partes reais, as soluções são

$$x(t) = c_1 \sin(\omega t) + c_2 \cos(\omega t).$$

O gráfico. A massa vai e volta para sempre, desenhando uma senoide. Mude a mola e a massa e veja o período $T = 2\pi/\omega$ mudar: mola mais dura oscila mais rápido, massa maior oscila mais devagar.

A massa oscila e vai desenhando x(t). Experimente k = 16 e m = 1: o período cai pela metade em relação a k = 4.
Seis curvas da solução geral; os coeficientes e a frequência mudam o formato da oscilação.
Seis curvas da solução geral; os coeficientes e a frequência mudam o formato da oscilação.Diagrama original, com curvas calculadas a partir da solução geral
Página das *Institutiones Calculi Differentialis* (1755), onde Euler organizou o cálculo diferencial.
Página das Institutiones Calculi Differentialis (1755), onde Euler organizou o cálculo diferencial.Acervo Euler’s Eyes; página redesenhada com fundo transparente

Que função é essa? (clique para ver o próximo enigma)

  1. Existe uma função $f$ cuja derivada, menos $2x$, dá zero: $f' - 2x = 0$. Resposta: $f(x) = x^2$ (mais qualquer constante).
  2. Existe uma função $h$ cuja segunda derivada, somada à própria função, dá zero: $h'' + h = 0$. Resposta: $h(x) = \sin x$, e também $\cos x$. É a equação da mola com $k = m$.
  3. Existe uma função $g$ cuja quarta derivada, menos a própria função, dá zero: $g'''' - g = 0$. Resposta: $g(x) = \cos x$, e também $\sin x$, $e^x$ e $e^{-x}$.

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