Este é o capítulo com mais exercícios de demonstração. Antes de abrir uma resolução, decida qual família de fórmulas usar: adição, multiplicação, divisão ou transformação em produto. Fórmulas de adição 131 Calcule os valores de: a) $\cos 15^\circ$; b) $\operatorname{sen} 105^\circ$; c) $\operatorname{tg} 75^\circ$; d) $\sec 285^\circ$. Ver a resoluçãoa) $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \operatorname{sen} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ b) $\operatorname{sen} 105^\circ = \operatorname{sen}(60^\circ + 45^\circ) = \operatorname{sen} 60^\circ \cos 45^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ c) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ $\left(= 2 + \sqrt{3}\right)$ d) $\sec 285^\circ = \sec 75^\circ = \dfrac{1}{\cos 75^\circ} = \dfrac{1}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ $\left(= \sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$
Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma $(a + b)$ e da diferença $(a - b)$ de dois números reais quaisquer $a$ e $b$, conhecidas as funções circulares de $a$ e de $b$. A história No Almagesto, Ptolomeu provou que, num quadrilátero inscrito, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos — o teorema de Ptolomeu. Aplicado a um quadrilátero com um lado igual ao diâmetro, ele dá exatamente as fórmulas da corda da soma e da diferença de dois arcos, que Ptolomeu usou para montar a sua tábua de meio em meio grau. Na forma de senos, as fórmulas aparecem com o astrônomo persa Abu al-Wafa (século X), que já conhecemos no capítulo II. A demonstração que faremos — pela distância entre dois pontos — usa a geometria analítica de Descartes e é bem mais recente.