Euler's Eyes
2026-10-23
Exercícios do capítulo VI — Transformações
Este é o capítulo com mais exercícios de demonstração. Antes de abrir uma resolução, decida qual família de fórmulas usar: adição, multiplicação, divisão ou transformação em produto.
Fórmulas de adição
Calcule os valores de: a) $\cos 15^\circ$; b) $\operatorname{sen} 105^\circ$; c) $\operatorname{tg} 75^\circ$; d) $\sec 285^\circ$.
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a) $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \operatorname{sen} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
b) $\operatorname{sen} 105^\circ = \operatorname{sen}(60^\circ + 45^\circ) = \operatorname{sen} 60^\circ \cos 45^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
c) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ $\left(= 2 + \sqrt{3}\right)$
d) $\sec 285^\circ = \sec 75^\circ = \dfrac{1}{\cos 75^\circ} = \dfrac{1}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ $\left(= \sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$
Calcule $\operatorname{cotg} 165^\circ$, $\sec 255^\circ$ e $\operatorname{cossec} 15^\circ$.
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$\operatorname{cotg} 165^\circ = -(2 + \sqrt{3})$, $\sec 255^\circ = -(\sqrt{6} + \sqrt{2})$, $\operatorname{cossec} 15^\circ = \sqrt{6} + \sqrt{2}$
(FEI-76) Sendo $\operatorname{tg} A = 2$ e $\operatorname{tg} B = 1$, ache $\operatorname{tg}(A - B)$.
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$\dfrac{1}{3}$
(MAPOFEI-75) Calcule o valor da expressão $\operatorname{sen} 105^\circ - \cos 75^\circ$.
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$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Dados $\operatorname{sen} x = \dfrac{3}{5}$ e $\cos y = \dfrac{5}{13}$, calcule $\cos(x + y)$, sabendo que $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ e $\dfrac{3\pi}{2} < y < 2\pi$.
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1º) $\cos x = +\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = +\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.
2º) $\operatorname{sen} y = -\sqrt{1 - \cos^2 y} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\frac{12}{13}$.
3º) $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \operatorname{sen} x \operatorname{sen} y = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{13} - \dfrac{3}{5} \cdot \left(-\dfrac{12}{13}\right) = \dfrac{56}{65}$.
Sabendo que $\operatorname{tg} a = \dfrac{2}{3}$ e $\operatorname{sen} b = \dfrac{4}{5}$, com $\dfrac{\pi}{2} < b < \pi$, calcule $\operatorname{tg}(a + b)$.
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1º) $\cos b = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\frac{3}{5}$. 2º) $\operatorname{tg} b = \dfrac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\dfrac{4}{3}$. 3º)
$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{4}{3}}{1 - \frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{17}{9}} = -\frac{6}{17}.$$Sabendo que $\operatorname{sen} x = \dfrac{15}{17}$, $\operatorname{sen} y = -\dfrac{3}{5}$, $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ e $\pi < y < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule $\operatorname{sen}(x + y)$, $\cos(x + y)$ e $\operatorname{tg}(x + y)$.
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$\operatorname{sen}(x + y) = -\dfrac{84}{85}$, $\cos(x + y) = \dfrac{13}{85}$, $\operatorname{tg}(x + y) = -\dfrac{84}{13}$
Demonstre as identidades:
a) $\operatorname{sen}(a + b) \cdot \operatorname{sen}(a - b) = \cos^2 b - \cos^2 a$;
b) (EPUSP-62) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \operatorname{sen} x & \operatorname{sen} y & \operatorname{sen} z \\ \cos x & \cos y & \cos z \end{vmatrix} = \operatorname{sen}(x - y) + \operatorname{sen}(y - z) + \operatorname{sen}(z - x)$;
c) $\cos^2(a + b) + \cos^2 b - 2\cos(a + b)\cos a \cos b = \operatorname{sen}^2 a$.
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a) $1^\circ$ membro $= (\operatorname{sen} a \cos b + \operatorname{sen} b \cos a)(\operatorname{sen} a \cos b - \operatorname{sen} b \cos a) = \operatorname{sen}^2 a \cos^2 b - \operatorname{sen}^2 b \cos^2 a$
$= (1 - \cos^2 a)\cos^2 b - (1 - \cos^2 b)\cos^2 a = \cos^2 b - \cos^2 a = 2^\circ$ membro.
b) Desenvolvendo o determinante pela primeira linha:
$$1^\circ \text{ membro} = \begin{vmatrix} \operatorname{sen} y & \operatorname{sen} z \\ \cos y & \cos z \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} \operatorname{sen} x & \operatorname{sen} z \\ \cos x & \cos z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \operatorname{sen} x & \operatorname{sen} y \\ \cos x & \cos y \end{vmatrix}$$$$= \operatorname{sen}(y - z) - \operatorname{sen}(x - z) + \operatorname{sen}(x - y) = \operatorname{sen}(x - y) + \operatorname{sen}(y - z) + \operatorname{sen}(z - x) = 2^\circ \text{ membro}.$$c) $1^\circ$ membro $= (\cos a \cos b - \operatorname{sen} a \operatorname{sen} b)^2 + \cos^2 b - 2(\cos a \cos b - \operatorname{sen} a \operatorname{sen} b)\cos a \cos b$
$= \cos^2 a \cos^2 b - 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \cos a \cos b + \operatorname{sen}^2 a \operatorname{sen}^2 b + \cos^2 b - 2\cos^2 a \cos^2 b + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \cos a \cos b$
$= \operatorname{sen}^2 a \operatorname{sen}^2 b - \cos^2 a \cos^2 b + \cos^2 b = \operatorname{sen}^2 a(1 - \cos^2 b) - (1 - \operatorname{sen}^2 a)\cos^2 b + \cos^2 b$
$= \operatorname{sen}^2 a - \operatorname{sen}^2 a \cos^2 b - \cos^2 b + \operatorname{sen}^2 a \cos^2 b + \cos^2 b = \operatorname{sen}^2 a = 2^\circ$ membro.
(MAPOFEI-75) Demonstre a identidade $\operatorname{tg}(45^\circ + x) \cdot \operatorname{cotg}(45^\circ - x) = \dfrac{1 + \operatorname{sen} 2x}{1 - \operatorname{sen} 2x}$.
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Com $t = \operatorname{tg} x$: $\operatorname{tg}(45^\circ + x) = \dfrac{1 + t}{1 - t}$ e $\operatorname{cotg}(45^\circ - x) = \dfrac{1}{\operatorname{tg}(45^\circ - x)} = \dfrac{1 + t}{1 - t}$. O produto é
$$\left(\frac{1 + t}{1 - t}\right)^2 = \left(\frac{\cos x + \operatorname{sen} x}{\cos x - \operatorname{sen} x}\right)^2 = \frac{1 + 2\operatorname{sen} x \cos x}{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x} = \frac{1 + \operatorname{sen} 2x}{1 - \operatorname{sen} 2x},$$usando $\operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x \cos x$, fórmula do arco duplo do tópico seguinte.
Se $a$ e $b$ são ângulos agudos e positivos, demonstre que $\operatorname{sen}(a + b) < \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b$.
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Seja $X = \operatorname{sen}(a + b) - \operatorname{sen} a - \operatorname{sen} b = \operatorname{sen} a \cos b + \operatorname{sen} b \cos a - \operatorname{sen} a - \operatorname{sen} b = \operatorname{sen} a(\cos b - 1) + \operatorname{sen} b(\cos a - 1)$.
Como $0 < a < \frac{\pi}{2}$, temos $\operatorname{sen} a > 0$ e $\cos a < 1$; do mesmo modo, $\operatorname{sen} b > 0$ e $\cos b < 1$. Então
$$X = \underbrace{\operatorname{sen} a}_{> 0} \cdot \underbrace{(\cos b - 1)}_{< 0} + \underbrace{\operatorname{sen} b}_{> 0} \cdot \underbrace{(\cos a - 1)}_{< 0} < 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(a + b) < \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b.$$(EPUSP-63) Prove que, se $\dfrac{\pi}{4} < a < \dfrac{\pi}{2}$ e $\dfrac{\pi}{4} < b < \dfrac{\pi}{2}$, então $\operatorname{sen}(a + b) < \operatorname{sen} a + \dfrac{4}{5}\operatorname{sen} b$.
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$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a \cos b + \operatorname{sen} b \cos a$. No intervalo dado, o cosseno é decrescente e positivo, logo $0 < \cos a < \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 < \frac{4}{5}$, e o mesmo vale para $\cos b$. Como $\operatorname{sen} a > 0$ e $\operatorname{sen} b > 0$:
$$\operatorname{sen} a \cos b < \operatorname{sen} a \qquad\text{e}\qquad \operatorname{sen} b \cos a < \frac{4}{5}\operatorname{sen} b.$$Somando, $\operatorname{sen}(a + b) < \operatorname{sen} a + \frac{4}{5}\operatorname{sen} b$.
Prove que os ângulos internos $A$, $B$ e $C$ de um triângulo não retângulo verificam a relação $\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B + \operatorname{tg} C = \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B \cdot \operatorname{tg} C$.
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(Se $A + B = 90^\circ$, o triângulo seria retângulo em $C$; por isso $1 - \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B \ne 0$.)
Demonstre a identidade $4 \cdot \operatorname{sen}(x + 60^\circ) \cdot \cos(x + 30^\circ) = 3\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x$.
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O produto é da forma $(u + v)(u - v)$ com $u = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$ e $v = \frac{1}{2}\operatorname{sen} x$:
$$4\left(\frac{3}{4}\cos^2 x - \frac{1}{4}\operatorname{sen}^2 x\right) = 3\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x.$$Estude a variação das funções reais: a) $f(x) = \operatorname{sen} 2x \cdot \cos x + \operatorname{sen} x \cdot \cos 2x$; b) $g(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen} x$; c) $h(x) = \dfrac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}$.
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a) $f(x) = \operatorname{sen}(2x + x) = \operatorname{sen} 3x$, então $D(f) = \mathbb{R}$, $p = \dfrac{2\pi}{3}$ e $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$.
b) $g(x) = \cos x \cos\frac{\pi}{4} + \operatorname{sen} x \operatorname{sen}\frac{\pi}{4} = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, então $D(g) = \mathbb{R}$, $p = 2\pi$ e $\operatorname{Im}(g) = [-1, 1]$.
c) $h(x) = \dfrac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\operatorname{tg} x} = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$, então $D(h) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{\pi}{4} + k\pi\right\}$, $p = \pi$ e $\operatorname{Im}(h) = \mathbb{R}$. Para $x = -\frac{\pi}{4}$, $h = \operatorname{tg} 0 = 0$.
Observação: a rigor, $h$ também não está definida onde $\operatorname{tg} x$ não existe ($x = \frac{\pi}{2} + k\pi$); nesses pontos a expressão simplificada daria $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} + k\pi\right) = -1$.
Estude a variação das funções reais: a) $f(x) = \cos^2 2x - \operatorname{sen}^2 2x$; b) $g(x) = \sqrt{3} \cdot \cos x - \operatorname{sen} x$; c) $h(x) = \dfrac{\operatorname{sen} x + \cos x}{\cos x - \operatorname{sen} x}$.
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a) $D(f) = \mathbb{R}$, $p(f) = \dfrac{\pi}{2}$, $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ · b) $D(g) = \mathbb{R}$, $p(g) = 2\pi$, $\operatorname{Im}(g) = [-2, 2]$ · c) $D(h) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$, $p(h) = \pi$, $\operatorname{Im}(h) = \mathbb{R}$
Qual é o período da função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por
$$f(x) = \operatorname{sen} x \cos 2x \cos 3x - \operatorname{sen} x \operatorname{sen} 2x \operatorname{sen} 3x + \cos x \operatorname{sen} 2x \cos 3x + \cos x \operatorname{sen} 3x \cos 2x\ ?$$Ver resposta
$p(f) = \dfrac{\pi}{3}$ (a expressão se reduz a $f(x) = \operatorname{sen} 6x$)
Fórmulas de multiplicação
Sendo $\operatorname{tg} x = \dfrac{3}{4}$ e $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule $\operatorname{sen} 2x$.
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No 3º quadrante, seno e cosseno são negativos:
$$\operatorname{sen} x = -\sqrt{\frac{\operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x}} = -\sqrt{\frac{\frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}}} = -\frac{3}{5} \qquad \cos x = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 x}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}} = -\frac{4}{5}$$$$\operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x \cos x = 2\left(-\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}.$$(FEI-77) Calcule $\operatorname{sen} 2x$ sabendo que $\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = 3$.
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$\operatorname{sen} 2x = \dfrac{2}{3}$
Sendo $\operatorname{cotg} x = \dfrac{12}{5}$ e $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, calcule $\cos 2x$.
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(MAUÁ-77) Sendo $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{2}{3}$, com $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$: a) calcule $\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\alpha\right)$; b) calcule $\cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right)$.
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a) $\dfrac{1}{9}$ · b) $\dfrac{\sqrt{10} - 2\sqrt{2}}{6}$
Sendo $\sec x = \dfrac{25}{24}$ e $\dfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, calcule $\operatorname{tg} 2x$.
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Se $\cos x = \dfrac{3}{5}$ e $\dfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, calcule $\operatorname{sen} 3x$.
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$\operatorname{sen} 3x = -\dfrac{44}{125}$
Se $\operatorname{sen} x = \dfrac{12}{13}$ e $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, calcule $\cos 3x$.
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$\cos 3x = \dfrac{2035}{2197}$
Se $\sec x = \dfrac{4}{3}$ e $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, calcule $\operatorname{tg} 3x$.
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$\operatorname{tg} 3x = -\dfrac{5\sqrt{7}}{9}$
(MAPOFEI-75) Calcule $\operatorname{sen}^2\dfrac{\pi}{12} - \cos^2\dfrac{\pi}{12} + \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} + \operatorname{tg}\dfrac{14\pi}{3}$.
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$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Prove que: a) $\operatorname{sen} 4a = 4\operatorname{sen} a \cos^3 a - 4\operatorname{sen}^3 a \cos a$; b) $\cos 4a = 8\cos^4 a - 8\cos^2 a + 1$; c) $\operatorname{tg} 4a = \dfrac{4\operatorname{tg} a - 4\operatorname{tg}^3 a}{\operatorname{tg}^4 a - 6\operatorname{tg}^2 a + 1}$.
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Fazemos $4a = 2 \cdot (2a)$.
a) $\operatorname{sen} 4a = 2\operatorname{sen} 2a \cos 2a = 2(2\operatorname{sen} a \cos a)(\cos^2 a - \operatorname{sen}^2 a) = 4\operatorname{sen} a \cos^3 a - 4\operatorname{sen}^3 a \cos a$.
b) $\cos 4a = 2\cos^2 2a - 1 = 2(2\cos^2 a - 1)^2 - 1 = 2(4\cos^4 a - 4\cos^2 a + 1) - 1 = 8\cos^4 a - 8\cos^2 a + 1$.
c) Com $t = \operatorname{tg} a$, $\operatorname{tg} 2a = \dfrac{2t}{1 - t^2}$ e
$$\operatorname{tg} 4a = \frac{2\operatorname{tg} 2a}{1 - \operatorname{tg}^2 2a} = \frac{\frac{4t}{1 - t^2}}{1 - \frac{4t^2}{(1 - t^2)^2}} = \frac{4t(1 - t^2)}{(1 - t^2)^2 - 4t^2} = \frac{4t - 4t^3}{t^4 - 6t^2 + 1}.$$Demonstre pelo princípio da indução finita que
$$\cos a \cdot \cos 2a \cdot \cos 4a \cdot \ldots \cdot \cos 2^{n-1}a = \frac{\operatorname{sen} 2^n a}{2^n \cdot \operatorname{sen} a} \qquad (\operatorname{sen} a \ne 0).$$Ver uma demonstração
Base ($n = 1$): o primeiro membro é $\cos a$, e o segundo, $\dfrac{\operatorname{sen} 2a}{2\operatorname{sen} a} = \dfrac{2\operatorname{sen} a \cos a}{2\operatorname{sen} a} = \cos a$.
Passo: suponha a igualdade válida para $n$. Multiplicando os dois membros por $\cos 2^n a$:
$$\cos a \cdots \cos 2^{n-1}a \cdot \cos 2^n a = \frac{\operatorname{sen} 2^n a \cos 2^n a}{2^n \operatorname{sen} a} = \frac{\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2^{n+1}a}{2^n \operatorname{sen} a} = \frac{\operatorname{sen} 2^{n+1}a}{2^{n+1}\operatorname{sen} a},$$que é a igualdade para $n + 1$ (usamos $\operatorname{sen} 2\theta = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta$ com $\theta = 2^n a$). Pelo princípio da indução, ela vale para todo $n \ge 1$.
(POLI-61) Esboce o gráfico da função $y = 2 \cdot \operatorname{sen}^2 x$ utilizando o gráfico de $\cos 2x$.
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A partir da identidade $\cos 2x = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x$, temos $y = 2\operatorname{sen}^2 x \Longrightarrow y = 1 - \cos 2x$.
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $2x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| $\cos 2x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ |
Estude a variação das funções reais: a) $f(x) = \cos^4 x - \operatorname{sen}^4 x$; b) $g(x) = 8\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x$; c) $h(x) = \cos^4 x + \operatorname{sen}^4 x$.
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a) $p(f) = \pi$, $D(f) = \mathbb{R}$, $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ · b) $p(g) = \dfrac{\pi}{2}$, $D(g) = \mathbb{R}$, $\operatorname{Im}(g) = [0, 2]$ · c) $p(h) = \dfrac{\pi}{2}$, $D(h) = \mathbb{R}$, $\operatorname{Im}(h) = \left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$
Qual é o período das funções reais: a) $f(x) = \operatorname{sen} x \cdot \cos x$; b) $g(x) = \dfrac{1 - \operatorname{tg}^2 2x}{1 + \operatorname{tg}^2 2x}$; c) $h(x) = \cos^6 x + \operatorname{sen}^6 x$?
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$p(f) = \pi$, $p(g) = \dfrac{\pi}{2}$, $p(h) = \dfrac{\pi}{2}$
Fórmulas de divisão
Calcule as funções circulares de $\dfrac{\pi}{8}$.
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Como $\frac{\pi}{8}$ está no 1º quadrante, todos os sinais são positivos:
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$$$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{1 + \cos\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{2} - 1.$$(As outras três são os inversos: $\operatorname{cotg}\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} + 1$, $\sec\frac{\pi}{8} = \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$, $\operatorname{cossec}\frac{\pi}{8} = \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$.)
Se $\operatorname{sen} x = \dfrac{24}{25}$ e $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, calcule as funções circulares de $\dfrac{x}{2}$.
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$\cos x = -\sqrt{1 - \frac{576}{625}} = -\frac{7}{25}$. Como $\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$, todos os sinais são positivos:
$$\operatorname{sen}\frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \qquad \cos\frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \qquad \operatorname{tg}\frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}.$$Se $\operatorname{tg} x = \dfrac{5}{12}$, calcule $\operatorname{sen}\dfrac{x}{2}$.
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então há 4 possibilidades para $\operatorname{sen}\frac{x}{2}$: $\;+\dfrac{1}{\sqrt{26}}$, $\;-\dfrac{1}{\sqrt{26}}$, $\;+\dfrac{5}{\sqrt{26}}$ ou $\;-\dfrac{5}{\sqrt{26}}$.
(FAUUSP-69) Sabendo que $x$ é um arco do primeiro quadrante e $\cos x = \dfrac{1}{3}$, determine $\operatorname{sen}\dfrac{x}{2}$ e $\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}$.
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$\operatorname{sen}\dfrac{x}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{tg}\dfrac{x}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Sabendo que $\cos x = \dfrac{24}{25}$ e $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, calcule $\operatorname{sen}\dfrac{x}{4}$, $\cos\dfrac{x}{4}$ e $\operatorname{tg}\dfrac{x}{4}$.
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$\operatorname{sen}\dfrac{x}{4} = \sqrt{\dfrac{10 - 7\sqrt{2}}{20}}$, $\cos\dfrac{x}{4} = \sqrt{\dfrac{10 + 7\sqrt{2}}{20}}$, $\operatorname{tg}\dfrac{x}{4} = \sqrt{\dfrac{10 - 7\sqrt{2}}{10 + 7\sqrt{2}}}$
Sendo $\sec x = 4$ e $\dfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, calcule $\operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi + x}{2}\right)$.
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$\operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi + x}{2}\right) = +\sqrt{\dfrac{5}{3}}$
Estude a variação da função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \sqrt{\dfrac{1 - \cos 2x}{2}}$.
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De $\cos 2x = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x$ decorre $\dfrac{1 - \cos 2x}{2} = \operatorname{sen}^2 x$; portanto $f(x) = \sqrt{\operatorname{sen}^2 x} = |\operatorname{sen} x|$. Já vimos que $D(f) = \mathbb{R}$, $p = \pi$ e $\operatorname{Im}(f) = [0, 1]$.
Estude a variação da função $f\colon \mathbb{R} - \left\{x \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = (1 - \cos 2x)^{\frac{1}{2}} \cdot (1 + \cos 2x)^{-\frac{1}{2}}$.
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$f(x) = |\operatorname{tg} x|$, $\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}_+$, $D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$, $p(f) = \pi$
Qual é o período da função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = (1 + \cos 4x)^{\frac{1}{2}}$?
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$D(f) = \mathbb{R}$, $\operatorname{Im}(f) = [0, \sqrt{2}]$ e $p(f) = \dfrac{\pi}{2}$, pois $f(x) = \sqrt{2\cos^2 2x} = \sqrt{2}\,|\cos 2x|$. (O gabarito da edição impressa traz $\dfrac{\pi}{4}$, o que não confere: $f\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,|\operatorname{sen} 2x|$.)
a) Para todo real $\alpha \ne \dfrac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$), prove que $\dfrac{1}{\operatorname{sen}\alpha} = \operatorname{cotg}\dfrac{\alpha}{2} - \operatorname{cotg}\alpha$.
b) Demonstre, utilizando o resultado anterior, que
$$\frac{1}{\operatorname{sen} a} + \frac{1}{\operatorname{sen} 2a} + \frac{1}{\operatorname{sen} 4a} + \cdots + \frac{1}{\operatorname{sen} 2^n a} = \operatorname{cotg}\frac{a}{2} - \operatorname{cotg} 2^n a.$$Ver uma demonstração
a) Com $\operatorname{sen}\alpha = 2\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$ e $\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1$:
$$\operatorname{cotg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{cotg}\alpha = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}} - \frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1}{2\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 1}{2\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}.$$b) Aplicando (a) com $\alpha = a, 2a, 4a, \ldots, 2^n a$, cada parcela vira uma diferença:
$$\left(\operatorname{cotg}\frac{a}{2} - \operatorname{cotg} a\right) + \left(\operatorname{cotg} a - \operatorname{cotg} 2a\right) + \cdots + \left(\operatorname{cotg} 2^{n-1}a - \operatorname{cotg} 2^n a\right).$$Os termos intermediários se cancelam (“soma telescópica”), e sobra $\operatorname{cotg}\frac{a}{2} - \operatorname{cotg} 2^n a$.
Transformação em produto
Transforme em produto: a) $y = \operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} 3x$; b) $y = \cos 3x + \cos x$; c) $y = \operatorname{sen} 7a + \operatorname{sen} 5a - \operatorname{sen} 3a - \operatorname{sen} a$; d) $y = \cos 9a + \cos 5a - \cos 3a - \cos a$; e) $y = \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b + \operatorname{sen} c - \operatorname{sen}(a + b + c)$.
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a) $y = 2\operatorname{sen}\dfrac{5x + 3x}{2}\cos\dfrac{5x - 3x}{2} = 2\operatorname{sen} 4x \cos x$
b) $y = 2\cos\dfrac{3x + x}{2}\cos\dfrac{3x - x}{2} = 2\cos 2x \cos x$
c) $y = (\operatorname{sen} 7a + \operatorname{sen} 5a) - (\operatorname{sen} 3a + \operatorname{sen} a) = 2\operatorname{sen} 6a \cos a - 2\operatorname{sen} 2a \cos a = 2\cos a(\operatorname{sen} 6a - \operatorname{sen} 2a)$
$= 2\cos a(2\operatorname{sen} 2a \cos 4a) = 4\cos a \operatorname{sen} 2a \cos 4a$
d) $y = (\cos 9a + \cos 5a) - (\cos 3a + \cos a) = 2\cos 7a \cos 2a - 2\cos 2a \cos a = 2\cos 2a(\cos 7a - \cos a)$
$= -4\cos 2a \operatorname{sen} 4a \operatorname{sen} 3a$
e) $y = (\operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b) - [\operatorname{sen}(a + b + c) - \operatorname{sen} c] = 2\operatorname{sen}\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a - b}{2} - 2\operatorname{sen}\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a + b + 2c}{2}$
$= -2\operatorname{sen}\dfrac{a + b}{2}\left[\cos\dfrac{a + b + 2c}{2} - \cos\dfrac{a - b}{2}\right] = -2\operatorname{sen}\dfrac{a + b}{2}\left(-2\operatorname{sen}\dfrac{a + c}{2}\operatorname{sen}\dfrac{b + c}{2}\right)$
$= 4\operatorname{sen}\dfrac{a + b}{2}\operatorname{sen}\dfrac{a + c}{2}\operatorname{sen}\dfrac{b + c}{2}$
Transforme em produto: a) $y = 1 + \operatorname{sen} 2x$; b) $y = 1 + \cos x$; c) $y = 1 + \cos a + \cos 2a$; d) $y = \operatorname{sen} a + 2\operatorname{sen} 3a + \operatorname{sen} 5a$.
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a) $y = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2} + \operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = 2\operatorname{sen}^2\left(\dfrac{\pi}{4} + x\right)$ (pois $\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$)
b) $y = \cos 0 + \cos x = 2\cos\dfrac{x}{2}\cos\left(-\dfrac{x}{2}\right) = 2\cos^2\dfrac{x}{2}$
c) $y = (\cos 2a + \cos 0) + \cos a = 2\cos^2 a + \cos a = 2\cos a\left(\cos a + \dfrac{1}{2}\right) = 2\cos a\left[\cos a + \cos\dfrac{\pi}{3}\right]$
$= 4\cos a \cos\left(\dfrac{a}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\cos\left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right)$
d) $y = (\operatorname{sen} 5a + \operatorname{sen} a) + 2\operatorname{sen} 3a = 2\operatorname{sen} 3a \cos 2a + 2\operatorname{sen} 3a = 2\operatorname{sen} 3a[\cos 2a + \cos 0]$
$= 2\operatorname{sen} 3a[2\cos a \cos a] = 4\operatorname{sen} 3a \cos^2 a$
Transforme em produto: a) $y = \operatorname{sen} x + \cos x$; b) $y = \cos 2x - \operatorname{sen} 2x$; c) $y = \cos^2 3x - \cos^2 x$; d) $y = \operatorname{sen}^2 5x - \operatorname{sen}^2 x$; e) $y = \dfrac{\operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b}{\cos a + \cos b}$.
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a) $y = \operatorname{sen} x + \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = 2\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$
b) $y = \cos 2x - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - 2x\right) = -2\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}\operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right)$
c) $y = (\cos 3x + \cos x)(\cos 3x - \cos x) = (2\cos 2x \cos x)(-2\operatorname{sen} 2x \operatorname{sen} x)$
$= -(2\operatorname{sen} 2x \cos 2x)(2\operatorname{sen} x \cos x) = -\operatorname{sen} 4x \operatorname{sen} 2x$
d) $y = (\operatorname{sen} 5x + \operatorname{sen} x)(\operatorname{sen} 5x - \operatorname{sen} x) = (2\operatorname{sen} 3x \cos 2x)(2\operatorname{sen} 2x \cos 3x)$
$= (2\operatorname{sen} 3x \cos 3x)(2\operatorname{sen} 2x \cos 2x) = \operatorname{sen} 6x \operatorname{sen} 4x$
e) $y = \dfrac{2\operatorname{sen}\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2}}{2\cos\frac{a + b}{2}\cos\frac{a - b}{2}} = \operatorname{tg}\dfrac{a + b}{2}$
Transforme em produto:
a) $y = \operatorname{sen}(a + b + c) - \operatorname{sen}(a - b + c)$; b) $y = \cos(a + 2b) + \cos a$; c) $y = \operatorname{sen} a + \operatorname{sen}(a + r) + \operatorname{sen}(a + 2r) + \operatorname{sen}(a + 3r)$; d) $y = \cos(a + 3b) + \cos(a + 2b) + \cos(a + b) + \cos a$; e) $y = \cos^2 p - \cos^2 q$; f) $y = \operatorname{sen}^2 p - \operatorname{sen}^2 q$; g) $y = \cos^2 p - \operatorname{sen}^2 q$; h) $y = \dfrac{\operatorname{sen} 2a + \operatorname{sen} 2b}{\cos 2a - \cos 2b}$; i) $y = \dfrac{1 + \operatorname{sen} a}{1 - \operatorname{sen} a}$.
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a) $2\operatorname{sen} b\cos(a + c)$ · b) $2\cos(a + b)\cos b$ · c) $4\cos r\cos\dfrac{r}{2}\operatorname{sen}\dfrac{2a + 3r}{2}$ · d) $4\cos b\cos\dfrac{b}{2}\cos\dfrac{2a + 3b}{2}$ · e) $\operatorname{sen}(p + q)\operatorname{sen}(q - p)$ · f) $\operatorname{sen}(p + q)\operatorname{sen}(p - q)$ · g) $\cos(p + q)\cos(p - q)$ · h) $\operatorname{cotg}(b - a)$ · i) $\operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{a}{2}\right)\operatorname{cotg}\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{a}{2}\right)$
(MAPOFEI-76) Transforme o produto $\cos 2x \cdot \cos 4x$ em uma soma equivalente.
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$\dfrac{1}{2}(\cos 6x + \cos 2x)$
(FEFAAP-77) Prove que $(\operatorname{sen} A + \cos A)^4 = 4\cos^4\left(A - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
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Pelo exercício 173a, $\operatorname{sen} A + \cos A = \sqrt{2}\cos\left(A - \frac{\pi}{4}\right)$. Elevando à quarta potência: $(\sqrt{2})^4\cos^4\left(A - \frac{\pi}{4}\right) = 4\cos^4\left(A - \frac{\pi}{4}\right)$.
Calcule o valor numérico da expressão $y = \operatorname{sen}\dfrac{13\pi}{12} \cdot \cos\dfrac{11\pi}{12}$.
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Fazendo $\dfrac{p + q}{2} = \dfrac{13\pi}{12}$ e $\dfrac{p - q}{2} = \dfrac{11\pi}{12}$, obtemos $p = \dfrac{24\pi}{12} = 2\pi$ e $q = \dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}$. Portanto
$$y = \frac{1}{2}\left(2\operatorname{sen}\frac{13\pi}{12}\cos\frac{11\pi}{12}\right) = \frac{1}{2}\left(\operatorname{sen} 2\pi + \operatorname{sen}\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\left(0 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}.$$Calcule o valor numérico das expressões: a) $y = \cos\dfrac{7\pi}{8} \cdot \cos\dfrac{\pi}{8}$; b) $y = \operatorname{sen}\dfrac{13\pi}{12} \cdot \operatorname{sen}\dfrac{7\pi}{12}$; c) $y = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{24} \cdot \cos\dfrac{\pi}{24}$.
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a) $-\dfrac{1}{4}(2 + \sqrt{2})$ · b) $-\dfrac{1}{4}$ · c) $\dfrac{\sqrt{2} + 1}{4}$
Prove que $\cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \cdot \cos 160^\circ = -\dfrac{1}{8}$.
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pois $\cos 200^\circ = \cos 160^\circ$ (arcos replementares: $200^\circ = 360^\circ - 160^\circ$).
Prove que $\operatorname{tg} 81^\circ - \operatorname{tg} 63^\circ - \operatorname{tg} 27^\circ + \operatorname{tg} 9^\circ = 4$.
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Agrupe $(\operatorname{tg} 81^\circ + \operatorname{tg} 9^\circ) - (\operatorname{tg} 63^\circ + \operatorname{tg} 27^\circ)$ e use $\operatorname{tg} p + \operatorname{tg} q = \dfrac{\operatorname{sen}(p + q)}{\cos p \cos q}$ com $p + q = 90^\circ$:
$$\operatorname{tg} 81^\circ + \operatorname{tg} 9^\circ = \frac{1}{\cos 81^\circ \cos 9^\circ} = \frac{2}{\cos 90^\circ + \cos 72^\circ} = \frac{2}{\cos 72^\circ} \qquad \operatorname{tg} 63^\circ + \operatorname{tg} 27^\circ = \frac{2}{\cos 36^\circ}.$$A expressão vale $\dfrac{2}{\cos 72^\circ} - \dfrac{2}{\cos 36^\circ} = \dfrac{2(\cos 36^\circ - \cos 72^\circ)}{\cos 36^\circ \cos 72^\circ}$. Agora:
- $\cos 36^\circ \cos 72^\circ = \dfrac{1}{4}$: multiplicando por $\operatorname{sen} 36^\circ$, $\operatorname{sen} 36^\circ \cos 36^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{2}\operatorname{sen} 72^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4}\operatorname{sen} 144^\circ = \frac{1}{4}\operatorname{sen} 36^\circ$;
- $\cos 36^\circ - \cos 72^\circ = 2\operatorname{sen} 54^\circ \operatorname{sen} 18^\circ = 2\cos 36^\circ \cos 72^\circ = \dfrac{1}{2}$.
Logo a expressão vale $\dfrac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 4$.
Demonstre que, se $A$, $B$ e $C$ são ângulos internos de um triângulo, valem as relações:
a) $\operatorname{sen} A + \operatorname{sen} B + \operatorname{sen} C = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$; b) $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\operatorname{sen}\dfrac{B}{2}\operatorname{sen}\dfrac{C}{2}$; c) $\operatorname{sen} 2A + \operatorname{sen} 2B + \operatorname{sen} 2C = 4\operatorname{sen} A \operatorname{sen} B \operatorname{sen} C$; d) $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2\cos A \cos B \cos C$.
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Preliminares. I) $A + B + C = \pi \Rightarrow B + C = \pi - A$, logo $\operatorname{sen}(B + C) = \operatorname{sen} A$ e $\cos(B + C) = -\cos A$. II) $\dfrac{B + C}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{A}{2}$, logo $\operatorname{sen}\dfrac{B + C}{2} = \cos\dfrac{A}{2}$ e $\cos\dfrac{B + C}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{A}{2}$.
a) $\operatorname{sen} A + \operatorname{sen} B + \operatorname{sen} C = \operatorname{sen} A + 2\operatorname{sen}\dfrac{B + C}{2}\cos\dfrac{B - C}{2} = 2\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2} + 2\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B - C}{2}$
$= 2\cos\dfrac{A}{2}\left[\cos\dfrac{B + C}{2} + \cos\dfrac{B - C}{2}\right] = 2\cos\dfrac{A}{2}\left[2\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\right] = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$.
b) $\cos A + \cos B + \cos C = \cos A + 2\cos\dfrac{B + C}{2}\cos\dfrac{B - C}{2} = \left(1 - 2\operatorname{sen}^2\dfrac{A}{2}\right) + 2\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B - C}{2}$
$= 1 - 2\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\left[\cos\dfrac{B + C}{2} - \cos\dfrac{B - C}{2}\right] = 1 - 2\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\left[-2\operatorname{sen}\dfrac{B}{2}\operatorname{sen}\dfrac{C}{2}\right] = 1 + 4\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\operatorname{sen}\dfrac{B}{2}\operatorname{sen}\dfrac{C}{2}$.
c) $\operatorname{sen} 2A + \operatorname{sen} 2B + \operatorname{sen} 2C = \operatorname{sen} 2A + 2\operatorname{sen}(B + C)\cos(B - C) = 2\operatorname{sen} A \cos A + 2\operatorname{sen} A \cos(B - C)$
$= 2\operatorname{sen} A[-\cos(B + C) + \cos(B - C)] = -2\operatorname{sen} A(-2\operatorname{sen} B \operatorname{sen} C) = 4\operatorname{sen} A \operatorname{sen} B \operatorname{sen} C$.
d) Como $\cos^2\alpha = \dfrac{\cos 2\alpha + 1}{2}$:
$\cos^2 A + \dfrac{\cos 2B + 1}{2} + \dfrac{\cos 2C + 1}{2} = 1 + \cos^2 A + \cos(B + C)\cos(B - C) = 1 + \cos^2 A - \cos A \cos(B - C)$
$= 1 - \cos A[\cos(B - C) - \cos A] = 1 - \cos A[\cos(B - C) + \cos(B + C)] = 1 - 2\cos A \cos B \cos C$.
Demonstre que, se $A$, $B$, $C$ são ângulos internos de um triângulo, valem as relações:
a) $\operatorname{sen} B + \operatorname{sen} C - \operatorname{sen} A = 4\operatorname{sen}\dfrac{B}{2}\operatorname{sen}\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A}{2}$; b) $\cos B + \cos C - \cos A = -1 + 4\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}$; c) $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4\cos A \cos B \cos C$; d) $\operatorname{sen}^2 A + \operatorname{sen}^2 B + \operatorname{sen}^2 C = 2(1 + \cos A \cos B \cos C)$; e) $\dfrac{1}{\operatorname{tg} A \operatorname{tg} B} + \dfrac{1}{\operatorname{tg} B \operatorname{tg} C} + \dfrac{1}{\operatorname{tg} C \operatorname{tg} A} = 1$ $\left(A, B, C \ne \dfrac{\pi}{2}\right)$.
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Usamos as preliminares do exercício 181.
a) $2\operatorname{sen}\dfrac{B + C}{2}\cos\dfrac{B - C}{2} - 2\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2} = 2\cos\dfrac{A}{2}\left[\cos\dfrac{B - C}{2} - \cos\dfrac{B + C}{2}\right] = 2\cos\dfrac{A}{2} \cdot 2\operatorname{sen}\dfrac{B}{2}\operatorname{sen}\dfrac{C}{2}$.
b) $2\cos\dfrac{B + C}{2}\cos\dfrac{B - C}{2} - \left(1 - 2\operatorname{sen}^2\dfrac{A}{2}\right) = -1 + 2\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\left[\cos\dfrac{B - C}{2} + \cos\dfrac{B + C}{2}\right] = -1 + 4\operatorname{sen}\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$.
c) $2\cos(A + B)\cos(A - B) + 2\cos^2 C - 1 = -2\cos C\cos(A - B) + 2\cos^2 C - 1 = -1 - 2\cos C[\cos(A - B) + \cos(A + B)] = -1 - 4\cos A \cos B \cos C$.
d) $\operatorname{sen}^2 A + \operatorname{sen}^2 B + \operatorname{sen}^2 C = 3 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C) = 3 - (1 - 2\cos A \cos B \cos C) = 2(1 + \cos A \cos B \cos C)$, pelo exercício 181d.
e) Pelo exercício 142, $\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B + \operatorname{tg} C = \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B \operatorname{tg} C$. Dividindo os dois membros por $\operatorname{tg} A \operatorname{tg} B \operatorname{tg} C$ (não nulo), obtemos a relação pedida.
Prove que, se $a + b + c = \dfrac{\pi}{2}$, então: a) $\operatorname{tg} a \operatorname{tg} b + \operatorname{tg} b \operatorname{tg} c + \operatorname{tg} c \operatorname{tg} a = 1$; b) $\cos^2 a + \cos^2 b + \cos^2 c - 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 2$.
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a) $a + b = \frac{\pi}{2} - c \Rightarrow \operatorname{tg}(a + b) = \operatorname{cotg} c \Rightarrow \dfrac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b} = \dfrac{1}{\operatorname{tg} c} \Rightarrow \operatorname{tg} c(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b) = 1 - \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b$, que é a relação pedida (supondo as tangentes definidas).
b) Pelo exercício 186, $\operatorname{sen}^2 a + \operatorname{sen}^2 b + \operatorname{sen}^2 c + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 1$. Trocando cada $\operatorname{sen}^2$ por $1 - \cos^2$: $3 - (\cos^2 a + \cos^2 b + \cos^2 c) + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 1$, que equivale à relação pedida.
Prove que, se $(\operatorname{sen} 2A, \operatorname{sen} 2B, \operatorname{sen} 2C)$ é uma progressão aritmética, então o mesmo ocorre com $(\operatorname{tg}(A + B), \operatorname{tg}(C + A), \operatorname{tg}(B + C))$.
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Por hipótese, $\operatorname{sen} 2B - \operatorname{sen} 2A = \operatorname{sen} 2C - \operatorname{sen} 2B$, isto é,
$$2\operatorname{sen}(B - A)\cos(B + A) = 2\operatorname{sen}(C - B)\cos(C + B).$$Escrevendo $B - A = (B + C) - (A + C)$ e $C - B = (C + A) - (A + B)$ e desenvolvendo pelo seno da diferença:
$$[\operatorname{sen}(B + C)\cos(A + C) - \operatorname{sen}(A + C)\cos(B + C)]\cos(B + A) = [\operatorname{sen}(C + A)\cos(A + B) - \operatorname{sen}(A + B)\cos(C + A)]\cos(C + B).$$Dividindo por $\cos(A + B)\cos(B + C)\cos(C + A)$:
$$\frac{\operatorname{sen}(B + C)}{\cos(B + C)} - \frac{\operatorname{sen}(C + A)}{\cos(C + A)} = \frac{\operatorname{sen}(C + A)}{\cos(C + A)} - \frac{\operatorname{sen}(A + B)}{\cos(A + B)},$$isto é, $\operatorname{tg}(B + C) - \operatorname{tg}(C + A) = \operatorname{tg}(C + A) - \operatorname{tg}(A + B)$: os três números estão em progressão aritmética.
Prove que, se $(\operatorname{sen}(a + b - c), \operatorname{sen}(a - b + c), \operatorname{sen}(-a + b + c))$ é uma progressão aritmética, então o mesmo ocorre com $(\operatorname{tg} a, \operatorname{tg} b, \operatorname{tg} c)$.
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Sejam $\alpha = a + b - c$, $\beta = a - b + c$ e $\gamma = -a + b + c$. A hipótese é $(\operatorname{sen}\beta - \operatorname{sen}\alpha) + (\operatorname{sen}\beta - \operatorname{sen}\gamma) = 0$. Transformando em produto:
$$\operatorname{sen}\beta - \operatorname{sen}\alpha = 2\operatorname{sen}(c - b)\cos a \qquad \operatorname{sen}\beta - \operatorname{sen}\gamma = 2\operatorname{sen}(a - b)\cos c.$$Logo $\operatorname{sen}(c - b)\cos a = \operatorname{sen}(b - a)\cos c$. Dividindo por $\cos a \cos b \cos c$ e usando $\operatorname{tg} p - \operatorname{tg} q = \dfrac{\operatorname{sen}(p - q)}{\cos p \cos q}$:
$$\frac{\operatorname{sen}(c - b)}{\cos b \cos c} = \frac{\operatorname{sen}(b - a)}{\cos a \cos b} \;\Longrightarrow\; \operatorname{tg} c - \operatorname{tg} b = \operatorname{tg} b - \operatorname{tg} a.$$Prove que, se $a + b + c = \dfrac{\pi}{2}$, então $\operatorname{sen}^2 a + \operatorname{sen}^2 b + \operatorname{sen}^2 c + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 1$.
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Como $b + c = \frac{\pi}{2} - a$, temos $\cos(b + c) = \operatorname{sen} a$. Então
$1^\circ$ membro $= \operatorname{sen}^2 a + \dfrac{1 - \cos 2b}{2} + \dfrac{1 - \cos 2c}{2} + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 1 + \operatorname{sen}^2 a - \dfrac{\cos 2b + \cos 2c}{2} + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c$
$= 1 + \operatorname{sen}^2 a - \cos(b + c)\cos(b - c) + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 1 + \operatorname{sen}^2 a - \operatorname{sen} a \cos(b - c) + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c$
$= 1 + \operatorname{sen} a[\cos(b + c) - \cos(b - c)] + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 1 - 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c + 2\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b \operatorname{sen} c = 1$.
Estude a variação da função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \cos x - \operatorname{sen} x$.
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Portanto $D(f) = \mathbb{R}$, $p = 2\pi$ e $\operatorname{Im}(f) = \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$ — o que confirma o gráfico do exercício 62.
Estude a variação da função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \operatorname{sen} 2x + \cos 2x$.
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$f(x) = \sqrt{2}\operatorname{sen}\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$: $D(f) = \mathbb{R}$, $p(f) = \pi$, $\operatorname{Im}(f) = \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$
Qual é o período da função $f(x) = \dfrac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}$?
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$p(f) = \pi$
Prove que, se os ângulos de um triângulo $ABC$ verificam a relação $\cos A + \cos B = \operatorname{sen} C$, então o triângulo é retângulo.
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(pois $\cos\frac{A + B}{2} = \operatorname{sen}\frac{C}{2}$). Como $\operatorname{sen}\frac{C}{2} \ne 0$, vem $\cos\dfrac{A - B}{2} = \cos\dfrac{C}{2}$, donde
$$A - B = C \;\Rightarrow\; A = B + C = \frac{\pi}{2} \qquad\text{ou}\qquad A - B = -C \;\Rightarrow\; B = A + C = \frac{\pi}{2}.$$Prove que, se os ângulos de um triângulo $ABC$ verificam a relação $\operatorname{sen} 4A + \operatorname{sen} 4B + \operatorname{sen} 4C = 0$, então o triângulo é retângulo.
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Como $2A + 2B = 2\pi - 2C$, temos $\operatorname{sen}(2A + 2B) = -\operatorname{sen} 2C$. Então
$$\operatorname{sen} 4A + \operatorname{sen} 4B + \operatorname{sen} 4C = 2\operatorname{sen}(2A + 2B)\cos(2A - 2B) + 2\operatorname{sen} 2C \cos 2C = 2\operatorname{sen} 2C[\cos 2C - \cos(2A - 2B)].$$Como $2C = 2\pi - 2A - 2B$, $\cos 2C = \cos(2A + 2B)$, e $\cos(2A + 2B) - \cos(2A - 2B) = -2\operatorname{sen} 2A \operatorname{sen} 2B$. Logo a soma vale $-4\operatorname{sen} 2A \operatorname{sen} 2B \operatorname{sen} 2C$. Se ela é nula, algum fator é nulo, por exemplo $\operatorname{sen} 2A = 0$ com $0 < 2A < 2\pi$, ou seja, $2A = \pi$ e $A = \frac{\pi}{2}$.
Demonstre que todo triângulo cujos ângulos verificam a relação $\operatorname{sen} 3A + \operatorname{sen} 3B + \operatorname{sen} 3C = 0$ tem um ângulo de $60^\circ$.
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Com $\frac{3(A + B)}{2} = \frac{3\pi}{2} - \frac{3C}{2}$, temos $\operatorname{sen}\frac{3(A + B)}{2} = -\cos\frac{3C}{2}$ e $\operatorname{sen}\frac{3C}{2} = -\cos\frac{3(A + B)}{2}$. Então
$$\operatorname{sen} 3A + \operatorname{sen} 3B + \operatorname{sen} 3C = 2\operatorname{sen}\frac{3(A + B)}{2}\cos\frac{3(A - B)}{2} + 2\operatorname{sen}\frac{3C}{2}\cos\frac{3C}{2}$$$$= -2\cos\frac{3C}{2}\left[\cos\frac{3(A - B)}{2} + \cos\frac{3(A + B)}{2}\right] = -4\cos\frac{3A}{2}\cos\frac{3B}{2}\cos\frac{3C}{2}.$$Se a soma é nula, algum fator é nulo, digamos $\cos\frac{3A}{2} = 0$; como $0 < \frac{3A}{2} < \frac{3\pi}{2}$, só pode ser $\frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$, isto é, $A = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$.