A tese de doutorado de Riemann, de 1851, tem um título modesto: Fundamentos de uma teoria geral das funções de uma variável complexa. Dentro dela estão duas ideias que mudaram a matemática: as condições que uma função complexa precisa cumprir para ter derivada e uma maneira geométrica de lidar com funções que têm vários valores. Funções que se podem derivar Uma função complexa $f(z)$, com $z = x + iy$, pode ser escrita como $f = u + iv$, em que $u$ e $v$ são funções reais de $x$ e $y$. Para que $f$ tenha derivada no sentido complexo, isto é, para que o limite $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ seja o mesmo qualquer que seja a direção em que $h$ vai a zero, as partes $u$ e $v$ precisam satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:
No fim do século XVIII, Euler e Laplace calculavam integrais reais difíceis com um truque ousado: trocavam a variável real por uma complexa, faziam as contas e voltavam ao real. Laplace chamava isso de “passagem do real ao imaginário”. Os resultados batiam, mas ninguém sabia dizer quando o truque era legítimo. Foi para responder a essa pergunta que Cauchy, aos 25 anos, entregou à Academia em 1814 uma memória sobre as integrais definidas. Ela só foi publicada em 1827, e era apenas o começo.