No fim do século XVIII, Euler e Laplace calculavam integrais reais difíceis com um truque ousado: trocavam a variável real por uma complexa, faziam as contas e voltavam ao real. Laplace chamava isso de “passagem do real ao imaginário”. Os resultados batiam, mas ninguém sabia dizer quando o truque era legítimo. Foi para responder a essa pergunta que Cauchy, aos 25 anos, entregou à Academia em 1814 uma memória sobre as integrais definidas. Ela só foi publicada em 1827, e era apenas o começo.

Funções que se derivam no plano

Uma função complexa $f(z)$, com $z = x + iy$, pode ser escrita como $f = u + iv$, onde $u$ e $v$ são funções reais de $x$ e $y$. Para que $f$ tenha derivada no sentido complexo, $u$ e $v$ precisam satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Elas já apareciam em d’Alembert e em Euler; Cauchy as pôs no centro da teoria, e Riemann as usaria trinta anos depois como ponto de partida. Para $f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i\,(2xy)$: $u_x = 2x = v_y$ e $u_y = -2y = -v_x$.

O teorema integral

Em 1825 Cauchy publicou a Memória sobre as integrais definidas tomadas entre limites imaginários. Integrar de um ponto $z_0$ a um ponto $z_1$ do plano exige escolher um caminho entre eles. O teorema central diz que o caminho não importa, desde que a função permaneça finita e contínua na região varrida quando se deforma um caminho no outro. Dito de outra forma: a integral ao longo de qualquer curva fechada que não contorne nenhum ponto problemático é zero,

$$\oint f(z)\,dz = 0.$$

O exemplo mais importante é aquele em que o teorema não se aplica. Integre $\frac{1}{z}$ ao longo do círculo de raio 1, percorrido no sentido anti-horário. Com $z = e^{it}$, $dz = i e^{it}\,dt$, e

$$\oint \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{i e^{it}}{e^{it}}\,dt = \int_0^{2\pi} i\,dt = 2\pi i.$$

O resultado não é zero porque o círculo dá a volta em $z = 0$, onde $\frac{1}{z}$ explode.

Os resíduos

Em 1826, nos seus Exercícios de matemática, Cauchy transformou essa conta num método, o cálculo dos resíduos. Se perto de um ponto $a$ a função se comporta como $\frac{R}{z - a}$ mais uma parte bem-comportada, o número $R$ é o resíduo de $f$ em $a$. Uma curva fechada que contorna $a$ uma vez dá

$$\oint f(z)\,dz = 2\pi i \cdot R,$$

e, se contorna vários pontos assim, somam-se os resíduos. Na figura, o círculo pode ser movido e aumentado. A função $\frac{1}{1 + z^2}$ explode em $z = i$ e $z = -i$, e a integral só depende de quais desses pontos ficam dentro:

Uma integral real

Veja o método em ação numa integral real:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}.$$

Como $1 + z^2 = (z - i)(z + i)$, perto de $z = i$ a função vale aproximadamente $\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{z - i}$: o resíduo em $i$ é $\frac{1}{2i}$. Tome o caminho fechado formado pelo segmento de $-R$ a $R$ no eixo real e pelo semicírculo de raio $R$ no semiplano de cima. Para $R > 1$ ele contorna só o ponto $i$, e

$$\int_{-R}^{R} \frac{dx}{1 + x^2} + \int_{\text{arco}} \frac{dz}{1 + z^2} = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi.$$

No arco, $|1 + z^2| \ge R^2 - 1$, e o comprimento é $\pi R$, então a integral sobre o arco é no máximo $\frac{\pi R}{R^2 - 1}$, que vai a zero. Sobra

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi.$$

É o mesmo resultado que se obtém com $\arctan x$, mas o método dos resíduos resolve do mesmo jeito integrais para as quais não há primitiva conhecida.

A fórmula integral

Em 1831, já exilado em Turim, Cauchy deu o passo seguinte, a fórmula integral: se $f$ é bem-comportada dentro de um círculo e $a$ é um ponto interior,

$$f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{f(z)}{z - a}\,dz.$$

Os valores da função na borda determinam todos os valores no interior. Da fórmula, Cauchy tirou que toda função derivável no sentido complexo tem série de potências, e que essa série converge no maior círculo que não contém nenhum ponto problemático. Isso explica um mistério antigo: a série $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ só converge para $|x| < 1$, embora a função seja perfeitamente lisa em toda a reta real. O motivo está fora da reta: os pontos $\pm i$, a distância 1 da origem.

Exercício: a exponencial complexa

Verifique as equações de Cauchy–Riemann para $e^z = e^x \cos y + i\,e^x \operatorname{sen} y$.

$u = e^x \cos y$ e $v = e^x \operatorname{sen} y$. Então $u_x = e^x \cos y = v_y$ e $u_y = -e^x \operatorname{sen} y = -v_x$. As equações valem em todo o plano: a exponencial é derivável em toda parte, e a sua série $1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots$ converge para todo $z$, porque não há nenhum ponto problemático.

Exercício: o raio de convergência

Some os primeiros termos de $1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$ para $x = \frac{1}{2}$ e para $x = 2$, e compare com $\frac{1}{1 + x^2}$.

Para $x = \frac{1}{2}$: $1 - 0{,}25 + 0{,}0625 - 0{,}015625 = 0{,}796875$, e $\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$: a série converge. Para $x = 2$: $1 - 4 + 16 - 64 = -51$, e os termos só crescem, enquanto $\frac{1}{5} = 0{,}2$. Pelo teorema de Cauchy, o raio de convergência é a distância da origem a $\pm i$, que é 1, e $\frac{1}{2} < 1 < 2$.

Fontes: Augustin-Louis Cauchy, “Mémoire sur les intégrales définies” (1814, publicada em 1827) · Augustin-Louis Cauchy, Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires (1825) · Augustin-Louis Cauchy, “Sur le calcul des résidus”, Exercices de mathématiques 1 (1826) · Frank Smithies, Cauchy and the Creation of Complex Function Theory (1997) · Carta de Gauss a Bessel, 18 de dezembro de 1811, em Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel (1880).

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