Em 29 de outubro de 1675, Leibniz estava em Paris trabalhando num problema de áreas. Até ali, ele escrevia omn., abreviação do latim omnia, “todos”, para indicar a soma de todas as linhas de uma figura, como fazia o italiano Cavalieri. No meio da página, escreveu: Será útil escrever ∫ em vez de omn. — Leibniz, manuscrito de 29 de outubro de 1675 O símbolo $\int$ é um S alongado, de summa, soma. Na época, o S comprido era uma letra comum na escrita. Desde então, nunca mais foi substituído.
Medir áreas de figuras curvas é um dos problemas mais antigos da matemática. Arquimedes, por volta de 250 a.C., mostrou que a área de um segmento de parábola é $\frac43$ da área de um triângulo inscrito nele. Foi um feito genial, mas feito sob medida: cada curva nova exigia uma ideia nova. No século XVII, Fermat, Cavalieri, Wallis e outros já sabiam calcular a área sob $y=x^n$ para vários valores de $n$. Faltava uma regra geral. E faltava perceber algo que Newton e Leibniz perceberam, cada um por seu caminho: calcular áreas e calcular taxas de variação são operações inversas.
Antes do cálculo, tangentes e áreas eram dois problemas sem relação. Achar a tangente a uma curva era uma arte; achar a área sob ela, outra. O grande achado do século XVII, de Isaac Barrow, Newton e Leibniz, foi que uma é o inverso da outra. É o teorema fundamental do cálculo, e a notação de Leibniz o escreve de um jeito que o faz parecer quase óbvio. Leibniz: como somas e diferenças Leibniz pensava em $\int$ como soma e em $d$ como diferença. E somar diferenças é desfazer a diferença, como numa escada: a soma dos degraus é a altura total. Ele escreveu que $\int$ e $d$ são inversos um do outro, “como as potências e as raízes no cálculo comum”. Em símbolos:
A expressão $$\int_0^2 x^2\,dx$$tem cinco peças: o sinal $\int$, os números $0$ e $2$, a função $x^2$ e o $dx$. Cada uma faz um trabalho diferente, e cada uma veio de um lugar. O capítulo 1 contou a passagem da exaustão de Arquimedes à integral. Aqui, a integral é lida devagar, como se lê uma frase numa língua nova. Uma frase em cinco peças O $\int$ é um S alongado, de summa, soma. Leibniz o escreveu pela primeira vez num manuscrito de 29 de outubro de 1675. É um signo icônico de um jeito curioso: não se parece com uma área, mas com a palavra que descreve como a área é feita. Os limites $0$ e $2$, embaixo e em cima, dizem de onde até onde se soma. Não são de Leibniz: foi o francês Joseph Fourier quem, por volta de 1820, passou a escrevê-los colados ao sinal. Antes, eles vinham escritos em palavras, ao lado. A função $x^2$ é a altura de cada faixa. O $dx$ é a largura de cada faixa, infinitamente fina. E é também a marca de qual letra varia: se estivesse escrito $dt$, a variável seria $t$. A letra $x$ é uma letra muda: $\int_0^2x^2\,dx$ e $\int_0^2t^2\,dt$ valem o mesmo. O resultado, $\frac83$, não depende de $x$. Lida inteira, a frase diz: some as alturas $x^2$ vezes as larguras $dx$, para todos os $x$ de $0$ a $2$.
Calcular a área de um retângulo é fácil: base vezes altura. Calcular a de um triângulo também: metade disso. O problema começa quando a figura é curva. Não há como ladrilhar um círculo com quadradinhos sem sobrar ou faltar um pedaço. Durante dois mil anos, os matemáticos atacaram esse problema com a mesma ideia: aproximar a curva por figuras retas cada vez menores. O que mudou foi a maneira de escrever essa ideia.