Antes do cálculo, tangentes e áreas eram dois problemas sem relação. Achar a tangente a uma curva era uma arte; achar a área sob ela, outra. O grande achado do século XVII, de Isaac Barrow, Newton e Leibniz, foi que uma é o inverso da outra. É o teorema fundamental do cálculo, e a notação de Leibniz o escreve de um jeito que o faz parecer quase óbvio.

Leibniz: como somas e diferenças

Leibniz pensava em $\int$ como soma e em $d$ como diferença. E somar diferenças é desfazer a diferença, como numa escada: a soma dos degraus é a altura total. Ele escreveu que $\int$ e $d$ são inversos um do outro, “como as potências e as raízes no cálculo comum”. Em símbolos:

$$d\!\int y\,dx=y\,dx,\qquad\int dy=y.$$

O $d$ e o $\int$ “se cancelam”, como $+3$ e $-3$. É uma notação ativa no sentido mais forte: o teorema mais importante do cálculo aparece como uma regra de simplificação.

As duas metades, na escrita moderna

Hoje o teorema se escreve em duas partes.

Primeira parte: derivar a área. Se $A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ é a área acumulada de $a$ até $x$, então

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

A taxa com que a área cresce é a altura da curva no ponto onde se está. Repare que a letra dentro da integral é $t$, e não $x$: o $x$ já está ocupado como limite superior. Escrever $\int_a^x f(x)\,dx$ seria o erro de captura de variável do capítulo 3.

Segunda parte: integrar uma derivada. Se $F'=f$, então

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.$$

O colchete com os limites é uma notação de passagem: guarda $F$ enquanto falta substituir os números. Com ela, a área que no texto anterior exigia infinitos retângulos sai em uma linha:

$$\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83-0=\frac83.$$

O que a notação esconde

O cancelamento de $d$ com $\int$ não é perfeito. Na integral indefinida,

$$\int\frac{dF}{dx}\,dx=F(x)+C,$$

aparece uma constante $C$ que o cancelamento não anuncia. Derivar apaga as constantes; integrar não sabe qual constante devolver. Esquecer o $+C$ é o erro mais comum dos cursos de cálculo, e a origem dele é semiótica: a escrita sugere uma inversa perfeita onde só há uma inversa a menos de uma constante.

Exercício: derivar uma área com limite variável

Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\cos t\,dt$.

Seja $A(u)=\int_0^u\cos t\,dt$, com $A'(u)=\cos u$. A expressão é $A(x^2)$, e pela regra da cadeia a derivada é $A'(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2)$. Conferindo pela segunda parte: $\int_0^{x^2}\cos t\,dt=\operatorname{sen}(x^2)$, cuja derivada é $2x\cos(x^2)$.

Exercício: o +C em ação

Duas pessoas integram $2\operatorname{sen}x\cos x$. Uma acha $\operatorname{sen}^2x$; a outra, $-\cos^2x$. Quem errou?

Ninguém. $\operatorname{sen}^2x-(-\cos^2x)=\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$: as duas respostas diferem por uma constante, e ambas são primitivas corretas. Uma terceira pessoa poderia achar $-\frac12\cos2x$, que também difere das outras por uma constante. É para isso que serve o $+C$.

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