Lei Dos Cossenos

Exercícios do capítulo X — Triângulos quaisquer

Antes de calcular, pergunte: o que foi dado? Dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados, pedem a lei dos cossenos; um lado e o ângulo oposto, a lei dos senos. Neste capítulo o gabarito impresso tem vários erros; quando a resposta daqui diverge dele, a diferença está explicada. Lei dos cossenos 360 Dois lados de um triângulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo de $120^\circ$. Calcule o terceiro lado. Ver a resoluçãoChamando de $b = 8$ e $c = 12$ os lados dados e de $\hat{A} = 120^\circ$ o ângulo entre eles, a lei dos cossenos dá $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A} = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 64 + 144 + 96 = 304,$$então $a = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$ m.

October 24, 2026 Iniciar leitura

Lei dos cossenos e lei dos senos

As duas leis deste tópico são as ferramentas principais para trabalhar com triângulos que não são retângulos. Ambas se demonstram reduzindo o problema a triângulos retângulos: traçando uma altura, na primeira, e um diâmetro, na segunda. A história Na forma geométrica, a lei dos cossenos já está nos Elementos de Euclides (livro II, proposições 12 e 13), que comparam o quadrado do lado oposto a um ângulo obtuso ou agudo com a soma dos quadrados dos outros dois — sem falar de cosseno, claro. Na forma trigonométrica, ela aparece no Miftah al-hisab (“A chave da aritmética”, 1427) do astrônomo persa Jamshid al-Kashi, e por isso os franceses a chamam de teorema de Al-Kashi. A lei dos senos para triângulos planos foi enunciada e demonstrada no século XIII por Nasir al-Din al-Tusi, no seu Tratado sobre o quadrilátero, a primeira obra a tratar a trigonometria como disciplina independente da astronomia (veja o capítulo III).

October 24, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 15 — Triângulos quaisquer

Lei dos senos 624 Sabendo que $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ e $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$, determine: a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$. Ver respostaa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$

October 9, 2026 Iniciar leitura

Cálculo de linhas notáveis

Medianas, alturas e bissetrizes podem ser calculadas só a partir dos três lados. Todas as fórmulas saem das relações métricas — e uma única relação, a de Stewart, resolve todas de uma vez. Quem descobriu A fórmula da mediana é conhecida como teorema de Apolônio: Papo de Alexandria a atribui a Apolônio de Perga (século III a.C.). A fórmula da altura usa a área do triângulo em função dos lados, a fórmula de Heron, demonstrada por Heron de Alexandria no século I, na Métrica (os árabes a atribuíam a Arquimedes). A relação que vale para qualquer segmento ligando um vértice ao lado oposto foi publicada pelo escocês Matthew Stewart em 1746, no livro Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics.

October 9, 2026 Iniciar leitura

Relações métricas e teorema dos cossenos

O teorema de Pitágoras tem um termo de correção quando o ângulo não é reto. Esse termo é a lei dos cossenos. Quem descobriu As relações métricas deste tópico estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), em linguagem de áreas: a proposição II.12 trata do lado oposto a um ângulo obtuso e a II.13, do lado oposto a um ângulo agudo. A forma com o cosseno, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, apareceu muito depois, junto com as tabelas trigonométricas. O astrônomo persa Jamshid al-Kashi a apresentou em 1427, em A chave da aritmética; na França, a lei dos cossenos ainda se chama théorème d’Al-Kashi. François Viète a escreveu com cossenos em 1593.

October 9, 2026 Iniciar leitura

Teorema dos senos

Num triângulo qualquer, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá sempre o mesmo número: o diâmetro da circunferência circunscrita. Quem descobriu A lei dos senos nasceu na astronomia, para triângulos desenhados na esfera celeste. A versão esférica foi obtida no século X por astrônomos do mundo islâmico — entre eles Abu al-Wafa e Abu Nasr Mansur. A forma para triângulos planos aparece de modo sistemático no Tratado do quadrilátero (1260) do persa Nasir al-Din al-Tusi, que fez da trigonometria uma disciplina independente da astronomia. Na Europa, ela se espalhou com o livro Sobre triângulos de todos os tipos, de Regiomontanus, escrito em 1464 e impresso em 1533.

October 9, 2026 Iniciar leitura