As duas leis deste tópico são as ferramentas principais para trabalhar com triângulos que não são retângulos. Ambas se demonstram reduzindo o problema a triângulos retângulos: traçando uma altura, na primeira, e um diâmetro, na segunda.

A história

Na forma geométrica, a lei dos cossenos já está nos Elementos de Euclides (livro II, proposições 12 e 13), que comparam o quadrado do lado oposto a um ângulo obtuso ou agudo com a soma dos quadrados dos outros dois — sem falar de cosseno, claro. Na forma trigonométrica, ela aparece no Miftah al-hisab (“A chave da aritmética”, 1427) do astrônomo persa Jamshid al-Kashi, e por isso os franceses a chamam de teorema de Al-Kashi. A lei dos senos para triângulos planos foi enunciada e demonstrada no século XIII por Nasir al-Din al-Tusi, no seu Tratado sobre o quadrilátero, a primeira obra a tratar a trigonometria como disciplina independente da astronomia (veja o capítulo III).

Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274), representação artística posterior.
Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274), representação artística posterior.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público
  1. c. 300 a.C.
    Euclides (Elementos II.12–13): a lei dos cossenos em forma geométrica.
  2. séc. X
    Abu al-Wafa e outros: a lei dos senos para triângulos esféricos.
  3. séc. XIII
    al-Tusi: a lei dos senos para triângulos planos.
  4. 1427
    al-Kashi: a lei dos cossenos em forma trigonométrica.
  5. c. 1464
    Regiomontanus leva as duas leis para a Europa.

Fontes: Al-Kashi (MacTutor) · Al-Tusi (MacTutor) · Euclides, Elementos, livro II, proposições 12 e 13.

No dia a dia

  • Navios e aviões. Dois navios saem do mesmo porto em rotas que formam $60^\circ$; quando um está a 8 km e o outro a 5 km, a distância entre eles é $\sqrt{64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}} = 7$ km.
  • Robôs e próteses. Um braço com dois segmentos de comprimentos conhecidos alcança um ponto a certa distância só se o “cotovelo” dobrar no ângulo dado pela lei dos cossenos — é o cálculo que todo braço robótico faz.
  • Medir o que não se alcança. Com uma base medida e dois ângulos, a lei dos senos dá a distância a uma ilha, a um pico ou a uma torre do outro lado do rio.
Dois navios saem do mesmo porto: a lei dos cossenos dá a distância entre eles.

Teoria

Lei dos cossenos

TeoremaLei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$$$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\hat{B}$$$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\hat{C}$$
Ver a demonstração

Seja $\overline{BD}$ a altura relativa ao lado $\overline{AC}$, de medida $h$, e $m = AD$.

1º caso: $\hat{A} < 90^\circ$. O ponto $D$ cai do mesmo lado de $A$ que $C$, e $n = DC = b - m$ (figura da esquerda, com $D$ entre $A$ e $C$; se $D$ cair além de $C$, $n = m - b$, e as contas são as mesmas). Nos triângulos retângulos $BCD$ e $BAD$:

$$a^2 = n^2 + h^2 \;(\text{I}) \qquad h^2 = c^2 - m^2 \;(\text{II}) \qquad n = b - m \;(\text{III}).$$

Levando (III) e (II) em (I): $a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 = b^2 + c^2 - 2bm$. Mas, no triângulo $BAD$, $m = c\cos\hat{A}$; logo $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$.

2º caso: $90^\circ < \hat{A} < 180^\circ$. Agora $D$ cai no prolongamento de $\overline{CA}$, além de $A$, e $DC = b + m$ (figura da direita). Do mesmo modo, $a^2 = (b + m)^2 + c^2 - m^2 = b^2 + c^2 + 2bm$. No triângulo $BAD$, o ângulo em $A$ é $180^\circ - \hat{A}$, de modo que $m = c\cos(180^\circ - \hat{A}) = -c\cos\hat{A}$; outra vez $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$.

3º caso: $\hat{A} = 90^\circ$. É o teorema de Pitágoras, pois $\cos 90^\circ = 0$.

As outras duas fórmulas se provam do mesmo modo, trocando os papéis dos vértices.

PropriedadePitágoras generalizado

A lei dos cossenos diz exatamente quanto $a^2$ difere de $b^2 + c^2$: se $\hat{A}$ é agudo, $a^2 < b^2 + c^2$; se é reto, $a^2 = b^2 + c^2$; se é obtuso, $a^2 > b^2 + c^2$. Aplicada ao maior lado, ela classifica o triângulo (exercício 372).

Lei dos senos

TeoremaLei dos senos

Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita:

$$\frac{a}{\operatorname{sen}\hat{A}} = \frac{b}{\operatorname{sen}\hat{B}} = \frac{c}{\operatorname{sen}\hat{C}} = 2R$$
Ver a demonstração

Seja $ABC$ um triângulo inscrito numa circunferência de raio $R$. Pelo vértice $B$, tracemos o diâmetro $\overline{BA'}$ e liguemos $A'$ a $C$.

Os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{A}'$ são iguais, pois são inscritos e determinam na circunferência a mesma corda $\overline{BC}$. O triângulo $A'BC$ é retângulo em $C$, por estar inscrito numa semicircunferência. Então

$$a = BC = BA' \cdot \operatorname{sen}\hat{A}' = 2R\operatorname{sen}\hat{A} \;\Longrightarrow\; \frac{a}{\operatorname{sen}\hat{A}} = 2R.$$

(Se $\hat{A}$ for obtuso, $A$ e $A'$ ficam em lados opostos de $\overline{BC}$ e $\hat{A}' = 180^\circ - \hat{A}$, que tem o mesmo seno; se $\hat{A}$ for reto, $\overline{BC}$ já é diâmetro.) Analogamente, $\frac{b}{\operatorname{sen}\hat{B}} = 2R$ e $\frac{c}{\operatorname{sen}\hat{C}} = 2R$.

Para ir além: o ângulo entre dois vetores

A lei dos cossenos tem uma tradução em coordenadas. Sejam $\vec A = (a_1, a_2, a_3)$ e $\vec B = (b_1, b_2, b_3)$ dois lados de um triângulo a partir de um vértice comum, com ângulo $\theta$ entre eles; o terceiro lado é $\vec A - \vec B$. A lei dos cossenos diz que

$$|\vec A - \vec B|^2 = |\vec A|^2 + |\vec B|^2 - 2|\vec A||\vec B|\cos\theta.$$

Desenvolvendo o lado esquerdo em coordenadas, $(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2 = |\vec A|^2 + |\vec B|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)$. Comparando:

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\vec A||\vec B|\cos\theta.$$

A soma do lado esquerdo é o produto escalar $\vec A \cdot \vec B$, e ela dá o ângulo entre dois vetores sem desenhar nada: $\cos\theta = \dfrac{\vec A \cdot \vec B}{|\vec A||\vec B|}$.

ExemploUm ângulo no espaço

Para $\vec A = (-2, 3, 1)$ e $\vec B = (1, 2, 3)$: $\vec A \cdot \vec B = -2 + 6 + 3 = 7$ e $|\vec A| = |\vec B| = \sqrt{14}$. Então $\cos\theta = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ e $\theta = 60^\circ$.

Na física, o produto escalar aparece no trabalho de uma força: uma força $F$ que desloca um corpo de $d$ numa direção que forma ângulo $\theta$ com ela realiza o trabalho $F\,d\cos\theta$. Só a componente da força na direção do movimento, $F\cos\theta$, conta.

Os exercícios desta seção são os de números 360 a 392 da lista do capítulo.