O teorema de Cayley–Hamilton
Todo quatérnio $q = a + v$, com parte escalar $a$ e parte vetorial $v$, satisfaz uma equação do segundo grau com coeficientes reais. Como $v^2 = -\lvert v \rvert^2$ (veja os vetores),
$$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$e daí
$$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$Um quatérnio é raiz de um polinômio real de grau 2, assim como um número complexo $z$ é raiz de $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$. Nas Lectures on Quaternions, de 1853, Hamilton foi mais longe e mostrou que certas funções lineares de quatérnios também satisfazem uma equação polinomial própria, que lhe serviu para calcular as suas inversas.
