ITA 2026 – 2ª fase: Matemática resolvida

Fonte: ITA – prova de Matemática da 2ª fase. Arquivos na página de provas anteriores do ITA.

A prova de Matemática da 2ª fase do ITA 2026 tem 10 questões dissertativas. O ITA não publica resolução oficial da parte dissertativa (o gabarito da 2ª fase traz só as questões objetivas de Português); as resoluções abaixo são nossas, e cada resposta foi conferida por um segundo caminho (substituição, outra fórmula ou verificação por computador).

Respostas

Questão 01: Pontos inteiros no octaedro

Enunciado

Considere um octaedro regular, centrado na origem, com três vértices em $(5, 0, 0)$, $(0, 5, 0)$ e $(0, 0, 5)$. Quantos pontos, no interior e na superfície desse sólido, possuem todas as coordenadas inteiras?

Resolução

1. O sólido. O octaedro de vértices $(\pm 5, 0, 0)$, $(0, \pm 5, 0)$, $(0, 0, \pm 5)$ é o conjunto $|x| + |y| + |z| \le 5$.

2. Fatiando por $z$. Para cada $z$ inteiro com $|z| \le 5$, contamos os pares inteiros com $|x| + |y| \le k$, em que $k = 5 - |z|$. Esse “losango” tem $2k^2 + 2k + 1$ pontos inteiros (por exemplo, $k = 1$: os 5 pontos $(0,0)$, $(\pm1, 0)$, $(0, \pm1)$).

3. Total.

Conferindo por computador: contando todos os $(x, y, z)$ inteiros com $|x| + |y| + |z| \le 5$, obtemos 231 ✔

Resposta: 231 pontos.

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Questão 02: Quando a entrada (1, 3) de Aⁿ passa de 119

Enunciado

Considere

Determine o menor $n \in \mathbb{N}$ tal que a entrada na primeira linha e na terceira coluna de $A^n$ seja maior que 119.

Resolução

1. Separando a identidade. $A = I + N$, com

2. Binômio de Newton. $I$ comuta com $N$, então

e a entrada $(1, 3)$ é $2n + \frac{n(n - 1)}{2} = \frac{n^2 + 3n}{2}$.

3. A desigualdade. $\frac{n^2 + 3n}{2} > 119 \iff n^2 + 3n > 238$. Para $n = 14$: $196 + 42 = 238$, que não é maior. Para $n = 15$: $225 + 45 = 270 > 238$.

Conferindo: a entrada $(1,3)$ vale $119$ em $A^{14}$ e $135$ em $A^{15}$ ✔

Resposta: $n = 15$.

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Questão 03: A área do paralelogramo ABCD

Enunciado

As diagonais do paralelogramo $ABCD$ estão contidas nas retas $r: 2y - x = 2$ e $s: x + 2y = 8$. As retas $r$ e $s$ se encontram no ponto $X$. Sabendo que $C = (8, 5)$ e que a equação da circunferência inscrita no triângulo $ABX$ é

determine a área de $ABCD$.

Resolução

1. O centro $X$. Somando as equações de $r$ e $s$: $4y = 10$, $y = \frac{5}{2}$ e $x = 3$. Então $X = \left(3, \frac{5}{2}\right)$.

2. O vértice $A$. $C = (8, 5)$ está em $r$ ($10 - 8 = 2$), então $AC$ é a diagonal sobre $r$. As diagonais se cortam ao meio: $A = 2X - C = (-2, 0)$.

3. O lado $AB$. $B$ está em $s$, e $AB$ é a reta por $A$ tangente à circunferência de centro $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ e raio $\frac{\sqrt{5}}{2}$, diferente de $r$ (que também é tangente). Para $y = k(x + 2)$:

Então $k = \frac{1}{2}$ (a reta $r$) ou $k = 2$. Logo $AB: y = 2x + 4$, e com $s$: $x + 2(2x + 4) = 8 \Rightarrow x = 0$, $B = (0, 4)$.

Conferindo: o incentro de $A(-2, 0)$, $B(0, 4)$, $X\left(3, \frac52\right)$, calculado como média dos vértices ponderada pelos lados opostos, é $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ ✔

4. A área. As diagonais dividem o paralelogramo em quatro triângulos de mesma área. Com $\overrightarrow{AB} = (2, 4)$ e $\overrightarrow{AX} = \left(5, \frac{5}{2}\right)$:

(Os vértices são $A(-2, 0)$, $B(0, 4)$, $C(8, 5)$ e $D = 2X - B = (6, 1)$.)

Resposta: a área de $ABCD$ é 30.

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Questão 04: Quanto do alvo é vermelho?

Enunciado

Um alvo é pintado em uma parede, composto de um círculo central e uma sequência de anéis concêntricos de cores alternadas entre vermelho e branco. O círculo central, pintado de vermelho, tem raio $\alpha$ unidades. Cada círculo subsequente tem raio uma unidade maior que o anterior: $\alpha + 1$, depois $\alpha + 2$ e assim por diante. Determine a área total em vermelho em função de $\alpha$, sabendo que o alvo tem 33 círculos.

Resolução

1. As regiões. Os 33 círculos têm raios $\alpha, \alpha + 1, \dots, \alpha + 32$. A região vermelha é o disco central e os anéis entre $\alpha + k$ e $\alpha + k + 1$ com $k$ ímpar ($k = 1, 3, \dots, 31$): 16 anéis.

2. Área de um anel.

3. Somando. Com $k = 2m - 1$, $m = 1, \dots, 16$: $2\alpha + 2k + 1 = 2\alpha + 4m - 1$. Então

Conferindo com o total: a área branca é a soma dos anéis com $k$ par ($k = 0, 2, \dots, 30$), $\pi(32\alpha + 496)$; vermelha + branca $= \pi(\alpha^2 + 64\alpha + 1024) = \pi(\alpha + 32)^2$, a área do maior círculo ✔

Resposta: $\pi\left(\alpha^2 + 32\alpha + 528\right)$.

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Questão 05: Quatro esferas dentro de uma esfera

Enunciado

Quatro esferas idênticas, dispostas tangentes duas a duas, estão simultaneamente inscritas em uma única esfera maior, de modo que os centros das esferas menores formam um tetraedro regular. Calcule a razão entre o volume da esfera maior e a soma dos volumes das quatro esferas menores.

Resolução

1. O tetraedro dos centros. Esferas de raio $r$ tangentes duas a duas têm centros a distância $2r$: tetraedro regular de aresta $2r$. O raio da esfera circunscrita a um tetraedro regular de aresta $\ell$ é $\frac{\ell\sqrt{6}}{4}$; aqui, $\frac{2r\sqrt{6}}{4} = \frac{r\sqrt{6}}{2}$.

2. A esfera maior. Ela é tangente às pequenas por fora delas, no prolongamento do segmento centro–centro:

3. A razão.

Como $(\sqrt{6} + 2)^3 = 6\sqrt{6} + 3\cdot 6\cdot 2 + 3\sqrt{6}\cdot 4 + 8 = 44 + 18\sqrt{6}$,

Resposta: $\dfrac{22 + 9\sqrt{6}}{16}$.

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Questão 06: Matrizes triangulares e somas de colunas

Enunciado

Dados os números reais $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}$, defina as matrizes $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{ij})$, ambas de ordem $n \times n$, por

Suponha que a soma dos elementos da coluna $j$ da matriz $AB$ seja igual a $n - j$.

• a) Determine o determinante de $AB$.
• b) Determine o traço de $AB$ em função de $n$.
• c) Supondo que $n = 5$, determine todos os possíveis valores de $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in \mathbb{R}$.

Comentário

Atenção: lido ao pé da letra, o enunciado é inconsistente: nenhuma escolha de $\alpha$’s faz as colunas de $AB$ terem somas $n - j$. Mostramos por quê e, depois, resolvemos a versão que torna o problema coerente (somas das colunas de $A$). A resolução publicada pelo Poliedro chega à mesma inconsistência.

1. As colunas de $A$. A coluna $j$ de $A$ é $(0, \dots, 0, 1, \alpha_j, \alpha_j^2, \dots, \alpha_j^{\,n-j-1})$, com o 1 na linha $j + 1$. Sua soma é

2. As colunas de $AB$. A coluna $j$ de $B$ tem 1 nas linhas $1, \dots, j$. Então a coluna $j$ de $AB$ é a soma das colunas $1, \dots, j$ de $A$, e sua soma é

3. A contradição. Como $S_n = 0$, temos $c_n = c_{n-1}$. Mas a hipótese exige $c_{n-1} = 1$ e $c_n = 0$. Impossível. (E mesmo ignorando a última coluna, $c_1 = n - 1$ e $c_2 = n - 2$ forçariam $S_2 = -1$; para $n = 5$, $1 + \alpha_2 + \alpha_2^2 = -1$ não tem solução real.)

a) Vale em qualquer leitura. $A$ é triangular inferior com diagonal nula, então $\det A = 0$ e

Versão coerente: somas das colunas de $A$ iguais a $n - j$. Suponha $S_j = n - j$ para todo $j$ (para $j = n$ isso diz $0 = 0$, e para $j = n - 1$, $S_{n-1} = 1$, o que sempre vale).

b) O elemento $(i, i)$ de $AB$ é $\sum_{k \le i} a_{ik}$, a soma da linha $i$ de $A$ (os termos com $k \ge i$ são zero). Logo o traço de $AB$ é a soma de todos os elementos de $A$:

c) Para $n = 5$:

• $S_1 = 1 + \alpha_1 + \alpha_1^2 + \alpha_1^3 = 4 \Rightarrow (\alpha_1 - 1)(\alpha_1^2 + 2\alpha_1 + 3) = 0 \Rightarrow \alpha_1 = 1$ (o fator quadrático não tem raiz real);
• $S_2 = 1 + \alpha_2 + \alpha_2^2 = 3 \Rightarrow (\alpha_2 - 1)(\alpha_2 + 2) = 0 \Rightarrow \alpha_2 = 1$ ou $\alpha_2 = -2$;
• $S_3 = 1 + \alpha_3 = 2 \Rightarrow \alpha_3 = 1$;
• $S_4 = 1$ sempre: $\alpha_4$ só aparece como $\alpha_4^0$, então pode ser qualquer real.

Resposta (com a leitura coerente): a) $\det(AB) = 0$; b) $\operatorname{tr}(AB) = \frac{n(n-1)}{2}$; c) $\alpha_1 = 1$, $\alpha_2 \in \{1, -2\}$, $\alpha_3 = 1$ e $\alpha_4 \in \mathbb{R}$ qualquer. Na leitura literal, não existem $\alpha$’s que satisfaçam a hipótese; só o item a) se mantém.

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Questão 07: As raízes a partir do resto

Enunciado

Seja $p(x)$ um polinômio de grau quatro com coeficientes reais. A soma das raízes de $p(x)$ é $\frac{3}{2}$, e o seu produto é $-\frac{5}{2}$. Determine todas as raízes de $p(x)$ em $\mathbb{C}$, sabendo que o resto da divisão de $p(x)$ por $x^3 - x + 4$ é igual a $9x^2 - 4x + 7$.

Resolução

1. A forma de $p$. O quociente da divisão por um polinômio de grau 3 tem grau 1:

2. Girard. Soma das raízes: $-\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$, logo $b = -\frac{3a}{2}$. Produto: $\frac{4b + 7}{a} = -\frac{5}{2}$, logo $-6a + 7 = -\frac{5a}{2}$, $a = 2$ e $b = -3$.

3. Raízes. Testando racionais: $p(-1) = 2 + 3 + 7 - 7 - 5 = 0$ e $p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} - 5 = 0$. Dividindo:

e $x^2 - 2x + 5 = 0$ dá $x = 1 \pm 2i$.

Conferindo: soma $-1 + \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ ✔; produto $(-1)\cdot\frac{1}{2}\cdot 5 = -\frac{5}{2}$ ✔; e o resto de $p$ por $x^3 - x + 4$ é $9x^2 - 4x + 7$ ✔ (conferido por computador).

Resposta: $-1$, $\dfrac{1}{2}$, $1 + 2i$ e $1 - 2i$.

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Questão 08: Três naturais crescentes somando 100

Enunciado

Quantas sequências estritamente crescentes de três números naturais é possível construir de forma que a soma dos três números é igual a 100?

Resolução

Queremos $a < b < c$ em $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ com $a + b + c = 100$.

1. Tirando a desigualdade estrita. Escreva $a = x$, $b = x + y$, $c = x + y + z$ com $x, y, z \ge 1$. Então

e cada solução corresponde a exatamente uma sequência.

2. Contando. Para cada $x$ e $y$ com $3x + 2y \le 99$, há um único $z \ge 1$. Para $x$ fixo, $y$ vai de 1 até $\left\lfloor\frac{99 - 3x}{2}\right\rfloor$:

($x$ vai até 32, pois com $x = 33$ não sobra espaço para $y \ge 1$.) Agrupando os termos com $x$ ímpar ($48, 45, \dots, 3$: 16 termos, PA de razão $-3$) e com $x$ par ($46, 43, \dots, 1$: 16 termos, PA de razão $-3$):

Conferindo por computador: contando diretamente os ternos $a < b < c$ de soma 100, obtemos 784 ✔. (Também bate com a fórmula clássica: o número de partições de $m$ em 3 partes é o inteiro mais próximo de $\frac{m^2}{12}$; aqui $m = 100 - 3 = 97$ e $\frac{97^2}{12} \approx 784{,}1$.)

Resposta: 784 sequências.

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Questão 09: Tangentes à hipérbole saindo de (0, −8)

Enunciado

Seja $H$ a hipérbole com focos $A = (-6, 0)$, $B = (6, 0)$ e excentricidade 3.

• a) Determine as equações de todas as retas que passam por $C = (0, -8)$ e são tangentes a $H$.
• b) Para cada reta do item anterior, determine os pontos de tangência.

Resolução

1. A hipérbole. $c = 6$ e $e = \frac{c}{a} = 3$ dão $a = 2$ e $b^2 = c^2 - a^2 = 32$:

2. Retas por $C$. A reta vertical $x = 0$ não encontra $H$. As outras são $y = mx - 8$. Substituindo:

Se $m^2 = 8$ (retas paralelas às assíntotas), há um só ponto de corte, mas a reta é secante, não tangente. Com $m^2 \ne 8$, tangência é discriminante nulo:

3. Pontos de tangência. A raiz dupla é $x = \frac{-16m}{2(8 - m^2)} = \frac{-16m}{-32} = \frac{m}{2}$, e $y = m\cdot\frac{m}{2} - 8 = 12 - 8 = 4$.

• $m = 2\sqrt{6}$: ponto $(\sqrt{6}, 4)$.
• $m = -2\sqrt{6}$: ponto $(-\sqrt{6}, 4)$.

Conferindo: $\frac{6}{4} - \frac{16}{32} = 1$ ✔, e a tangente a $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{32} = 1$ em $(\sqrt{6}, 4)$ é $\frac{\sqrt{6}\,x}{4} - \frac{4y}{32} = 1$, isto é, $y = 2\sqrt{6}\,x - 8$, que passa por $(0, -8)$ ✔

Resposta: a) $y = 2\sqrt{6}\,x - 8$ e $y = -2\sqrt{6}\,x - 8$. b) $(\sqrt{6}, 4)$ e $(-\sqrt{6}, 4)$, respectivamente.

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Questão 10: Duas circunferências e a lente entre elas

Enunciado

Os pontos $A$ e $B$ definem um segmento com $m(\overline{AB}) = 6(1 + \sqrt{3})$ cm. Os pontos $C$ e $D$ estão no segmento $\overline{AB}$. A circunferência de centro em $C$ e passando por $A$ e a circunferência de centro em $D$ e passando por $B$ se encontram nos pontos $P$ e $Q$, que satisfazem

• a) Determine o raio de cada circunferência.
• b) Determine a área da região comum ao interior das duas circunferências.

Resolução

1. Coordenadas. $A = (0, 0)$, $B = (L, 0)$ com $L = 6(1 + \sqrt{3})$. Os centros estão no eixo $x$, então $P$ e $Q$ são simétricos: $P = (u, h)$, $Q = (u, -h)$, e $m(\overline{PQ}) = 2h$.

2. Usando as condições.

• $AP = 2h$: $u^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow u = \sqrt{3}\,h$ (com $u > 0$; se $u < 0$, o centro $C$ cairia fora do segmento).
• $BP = 2h\sqrt{2 + \sqrt{3}}$: $(L - u)^2 + h^2 = 4h^2(2 + \sqrt{3})$, logo $(L - u)^2 = h^2(7 + 4\sqrt{3}) = h^2(2 + \sqrt{3})^2$ e $L - u = h(2 + \sqrt{3})$.

Somando: $L = h(2 + 2\sqrt{3}) = 2h(1 + \sqrt{3})$, então $h = 3$, $u = 3\sqrt{3}$ e $P = (3\sqrt{3}, 3)$.

3. a) Os raios.

• Centro $C = (R_1, 0)$, passando por $A$ e $P$: $(3\sqrt{3} - R_1)^2 + 9 = R_1^2 \Rightarrow 36 = 6\sqrt{3}\,R_1 \Rightarrow R_1 = 2\sqrt{3}$ cm.
• Centro $D = (L - R_2, 0)$, passando por $B$ e $P$: com $w = L - u = 3(2 + \sqrt{3})$, $(w - R_2)^2 + 9 = R_2^2 \Rightarrow R_2 = \frac{w^2 + 9}{2w} = \frac{36(2 + \sqrt{3})}{6(2 + \sqrt{3})} = 6$ cm.

(Usamos $w^2 = 9(7 + 4\sqrt{3})$, então $w^2 + 9 = 36(2 + \sqrt{3})$.) Os centros $C = (2\sqrt{3}, 0) \approx (3{,}46;\ 0)$ e $D = (6\sqrt{3}, 0) \approx (10{,}39;\ 0)$ estão no segmento ✔

4. b) A lente. A corda comum $\overline{PQ}$ tem comprimento 6 e está na reta $x = 3\sqrt{3}$. A região comum é a união de dois segmentos circulares:

• Círculo de $C$: a corda dista $3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ do centro; o meio ângulo central tem cosseno $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$, então o ângulo central é $120^\circ$. Segmento: $\frac{R_1^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3} - \operatorname{sen}120^\circ\right) = 6\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\pi - 3\sqrt{3}$.
• Círculo de $D$: a corda dista $6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ do centro; o meio ângulo tem cosseno $\frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ângulo central $60^\circ$. Segmento: $\frac{36}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 6\pi - 9\sqrt{3}$.

Conferindo numericamente: $AP = 6 = PQ$ e $BP \approx 11{,}591 = 6\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ ✔; uma integração numérica da região comum dá $\approx 10{,}632$ cm² ✔

Resposta: a) $2\sqrt{3}$ cm (centro $C$) e $6$ cm (centro $D$). b) $10\pi - 12\sqrt{3}$ cm².

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