Mecânica

Permutar as raízes: o teorema de Lagrange

Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5. Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

October 14, 2026 Iniciar leitura

O princípio dos trabalhos virtuais

Em todo equilíbrio de forças quaisquer, de qualquer maneira que estejam aplicadas, a soma das energias positivas será igual à soma das energias negativas. — Johann Bernoulli, carta a Pierre Varignon (26 de janeiro de 1717) Desde Arquimedes, cada máquina simples tinha a sua própria explicação. A alavanca obedecia à lei dos braços; o plano inclinado, a uma decomposição de forças inventada por Stevin; a roldana, a um raciocínio sobre as cordas; o parafuso, a outro. Em 1717, numa carta ao amigo francês Pierre Varignon, Johann Bernoulli mostrou que todas essas leis são casos de um único princípio.

October 13, 2026 Iniciar leitura

A derivada sem infinitésimos e o teorema do valor médio

No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e ninguém sabia explicar direito por quê. Os $dx$ de Leibniz eram quantidades “infinitamente pequenas”: às vezes eram tratadas como se fossem diferentes de zero, para poder dividir por elas, e logo depois como se fossem zero, para poder desprezá-las. O bispo Berkeley tinha zombado disso em 1734, chamando-as de “fantasmas de quantidades mortas”. Lagrange se incomodava com isso. Em 1797, publicou um livro com um subtítulo que é um programa inteiro:

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de Johann Bernoulli

Johann Bernoulli não escreveu um grande livro, como o irmão escreveu a Ars conjectandi ou Newton os Principia. O seu livro mais famoso saiu com o nome de outro. O que ele deixou foi um jeito de trabalhar: transformar cada problema de física ou de geometria numa equação e resolvê-la com o cálculo de Leibniz. E deixou alunos. O campeão de Leibniz Na disputa sobre quem tinha inventado o cálculo, Newton ou Leibniz, Johann foi o soldado mais combativo do lado de Leibniz. Quando a Royal Society, presidida por Newton, publicou no começo de 1713 um relatório dando a prioridade a Newton, Leibniz respondeu com uma folha anônima, a Charta volans, que citava o julgamento de “um matemático eminente”: era Johann. Nos anos seguintes, Johann desafiou os matemáticos ingleses com problemas difíceis, que considerava impossíveis com o método de Newton. Leibniz morreu em 1716, e Johann continuou a briga sozinho por anos. A disputa separou a matemática inglesa da do continente por quase um século.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Os multiplicadores de Lagrange: otimizar com uma restrição

Quase toda decisão real é um problema de máximo ou mínimo com restrição. Uma fábrica quer o maior lucro, mas tem uma quantidade limitada de matéria-prima. Uma lata deve guardar 350 ml usando o mínimo de alumínio. Um pêndulo se move como quiser, desde que a bolinha fique presa ao fio. Lagrange encontrou um método único para todos esses problemas. Ele aparece na Mecânica analítica, de 1788, para tratar das amarrações dos sistemas mecânicos, e na Teoria das funções analíticas, de 1797, como regra geral de cálculo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Johann Bernoulli, gravura do acervo do Rijksmuseum: página de origem · CC0. Retrato de Guillaume de l’Hôpital: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Analyse des infiniment petits, Paris, 1696: página de origem · domínio público. Retrato de Daniel Bernoulli, gravura de Johann Jakob Haid segundo Johann Rudolf Huber: página de origem · domínio público. A corrente e o arco, desenhos de Giovanni Poleni, Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano, 1748: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa e o diagrama da cicloide e da reta entre os mesmos pontos são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama está em escala: os dois eixos têm a mesma unidade. A tabela das notações de função, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de funções deste site.

October 13, 2026 Iniciar leitura

O legado de Lagrange

Lagrange é a alta pirâmide das ciências matemáticas. — Napoleão Bonaparte, segundo os contemporâneos Lagrange não deixou anedotas de gênio precoce como Pascal, nem uma obra do tamanho da de Euler. Deixou outra coisa: um jeito de fazer matemática. Onde os outros desenhavam, ele calculava; onde os outros achavam um truque para cada problema, ele procurava a regra que explicava todos os truques. Quase tudo o que fez continua nos livros com o seu nome: a equação de Euler-Lagrange, a lagrangiana, os pontos de Lagrange, o teorema de Lagrange, o resto de Lagrange, os multiplicadores de Lagrange.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O parafuso, a garra e os espelhos

Plutarco escreve que Arquimedes considerava a engenharia uma atividade menor, e que não deixou nenhum livro sobre as suas máquinas. Mesmo assim, foram elas que o tornaram famoso entre os contemporâneos. As fontes antigas descrevem várias, com graus muito diferentes de confiabilidade. O parafuso de Arquimedes Um cilindro inclinado, com uma hélice por dentro ou um tubo enrolado em espiral por fora, tem a ponta de baixo mergulhada na água. Ao girar o cilindro, cada porção de água fica presa numa dobra da hélice e sobe, volta a volta, até sair pela ponta de cima. O historiador Diodoro da Sicília, no século I a.C., atribui a invenção a Arquimedes, durante uma estada no Egito, onde a máquina era usada para irrigar os campos às margens do Nilo e para esvaziar a água das minas.

October 29, 2026 Iniciar leitura

O legado de William Rowan Hamilton

O princípio hamiltoniano tornou-se a pedra angular da física moderna, aquilo com que um físico espera que todo fenômeno físico esteja em conformidade. — Erwin Schrödinger (1943) Hamilton acreditava que os quatérnios seriam a sua grande obra, a linguagem da física do futuro. Errou no detalhe e acertou no essencial. A física adotou os vetores de Gibbs e Heaviside, mas a mecânica de Hamilton, que ele considerava menos importante, tornou-se a base de quase tudo o que veio depois.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens de Lagrange

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Joseph-Louis Lagrange, gravura de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Medalhão com o perfil de Lagrange, bronze de Pierre-Jean David d’Angers, Musées d’Angers: página de origem · CC0. Folha de rosto da Méchanique analitique, Paris, 1788: página de origem · domínio público. Estátua de Lagrange em Turim, foto de Twice25, 2009: página de origem · CC BY-SA 3.0. Figuras do blog A capa, o diagrama dos cinco pontos de Lagrange e o gráfico das curvas de mesma área com a reta da restrição são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama dos pontos está fora de escala: L1 e L2 ficam, na verdade, cem vezes mais perto da Terra do que o Sol.

October 14, 2026 Iniciar leitura