Que todo círculo tem a mesma razão entre a circunferência e o diâmetro já se sabia antes de Arquimedes. O valor dessa razão, que hoje chamamos de $\pi$, é que era incerto: os babilônios usavam às vezes $3\frac{1}{8}$, os egípcios algo próximo de $3{,}16$. No pequeno tratado A medida do círculo, Arquimedes fez duas coisas: relacionou a área do círculo com a circunferência e mostrou como calcular $\pi$ com a precisão que se quiser.
O terceiro livro das Instituzioni trata do cálculo integral: áreas sob curvas, volumes, comprimentos. A versiera dá um exemplo surpreendente. A curva nunca toca o eixo $x$; ela se estende sem fim para os dois lados. Mesmo assim, a região entre a curva e o eixo tem área finita. Uma primitiva conhecida Com $a = 1$, a curva é $y = \frac{1}{1 + x^2}$. Precisamos de uma função cuja derivada seja $\frac{1}{1 + x^2}$. Ela existe e é velha conhecida: o arco tangente. Se $u = \arctan x$, então $x = \tan u$ e
Enrole um barbante em volta de uma lata e depois estique-o sobre o diâmetro: ele cabe pouco mais de três vezes. Isso vale para qualquer lata, roda ou moeda. Esse “pouco mais de três” é o número π. Quem descobriu Que o contorno de um círculo é um pouco maior que três diâmetros já era sabido pelos babilônios e egípcios há quase 4 000 anos; eles usavam valores como 3, $3\tfrac{1}{8}$ e 3,16. Quem primeiro calculou π com garantia foi Arquimedes de Siracusa (século III a.C.): usando polígonos de 96 lados, ele provou que π está entre $3\tfrac{10}{71}$ e $3\tfrac{1}{7}$. O símbolo π foi usado pelo galês William Jones em 1706 e popularizado por Leonhard Euler.