O terceiro livro das Instituzioni trata do cálculo integral: áreas sob curvas, volumes, comprimentos. A versiera dá um exemplo surpreendente. A curva nunca toca o eixo $x$; ela se estende sem fim para os dois lados. Mesmo assim, a região entre a curva e o eixo tem área finita.

Uma primitiva conhecida

Com $a = 1$, a curva é $y = \frac{1}{1 + x^2}$. Precisamos de uma função cuja derivada seja $\frac{1}{1 + x^2}$. Ela existe e é velha conhecida: o arco tangente. Se $u = \arctan x$, então $x = \tan u$ e

$$\begin{aligned} \frac{dx}{du} &= \frac{1}{\cos^2 u} = 1 + \tan^2 u = 1 + x^2 \\ &\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}. \end{aligned}$$

Então a área entre $-X$ e $X$ é

$$\int_{-X}^{X} \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan X - \arctan(-X) = 2\arctan X.$$

Quando $X$ cresce sem limite, $\arctan X$ se aproxima de $\frac{\pi}{2}$, e a área total é

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi.$$

Quatro círculos

Com um diâmetro $a$ qualquer, a mudança de variável $x = a u$ dá

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{a^3}{x^2 + a^2}\,dx = a^2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{1 + u^2} = \pi a^2.$$

O círculo que gera a curva tem diâmetro $a$, ou seja, raio $\frac{a}{2}$ e área $\pi\frac{a^2}{4}$. A área sob a versiera é exatamente quatro vezes a área do círculo. É o tipo de resultado limpo que os matemáticos do século XVIII adoravam, e que Agnesi apresenta como exemplo do poder do novo cálculo.

A série de Leibniz

A mesma integral explica uma das fórmulas mais bonitas da matemática. Para $|x| < 1$, a soma da progressão geométrica dá

$$\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$$

Integrando termo a termo de 0 a 1, e lembrando que $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$

É a série de Leibniz, publicada em 1682 e conhecida antes pelos matemáticos indianos da escola de Kerala. Em termos da versiera: a área sob a curva entre 0 e 1 é exatamente $\frac{\pi}{4}$, a mesma área do círculo de diâmetro 1 que a gera.

Exercício: a área entre −1 e 1

Calcule a área sob $y = \frac{1}{1 + x^2}$ entre $x = -1$ e $x = 1$. Que fração da área total ela representa?

$2\arctan 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. A área total é $\pi$, então o trecho entre $-1$ e $1$, que corresponde a $-a$ e $a$, contém metade da área. A outra metade está nas duas caudas, que se estendem ao infinito.

Exercício: a série de Leibniz converge devagar

Some os quatro primeiros termos da série $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$ e compare com $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854$.

$1 - 0{,}3333 + 0{,}2 - 0{,}1429 = 0{,}7238$. O erro é cerca de 0,06, ainda grande. Como os termos diminuem só como $\frac{1}{2n+1}$, para acertar cinco casas decimais são precisos cerca de cem mil termos. A série é bonita, mas péssima para calcular $\pi$.

Fontes: Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, vol. II (1749), livro III · Gottfried Wilhelm Leibniz, “De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus”, Acta Eruditorum (1682) · Ranjan Roy, “The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha”, Mathematics Magazine 63 (1990).

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