Pegue o número 2 e eleve a potências cada vez maiores. Divida cada resultado por 7 e anote o resto: Potência $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ Valor 2 4 8 16 32 64 Resto por 7 2 4 1 2 4 1 Em $2^6$, o resto é 1. Agora tente com 3 e o primo 5: $3^4=81$, que deixa resto 1 na divisão por 5. E com 10 e o primo 13: $10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$, que também deixa resto 1 na divisão por 13.
Os matemáticos sempre sonharam com uma fórmula que só produzisse números primos. Em 1640, Fermat achou que tinha encontrado uma. Cinco primos seguidos Fermat estudou os números da forma $$F_n=2^{2^n}+1.$$O expoente é uma potência de 2: $1,2,4,8,16,\ldots$ Calculando os primeiros: $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$Os cinco são primos. Verificar $65\,537$ à mão, testando divisores até sua raiz quadrada, já dava trabalho. Fermat escreveu a Frénicle de Bessy que estava convencido de que todos os números dessa forma eram primos, embora admitisse não ter uma demonstração.
A função que leva o nome de Riemann foi estudada antes por Euler. Para um número real $s$ maior que 1, a série $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$converge. Euler calculou vários dos seus valores, como $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, a solução do problema de Basileia. O produto de Euler A descoberta mais profunda de Euler, de 1737, foi que a mesma função pode ser escrita como um produto sobre os números primos:
Os números primos parecem aparecer ao acaso: 2, 3, 5, 7, 11, 13, depois um buraco até 17, 19, 23, outro até 29. Mas, olhando de longe, eles obedecem a uma regra. Chame de $\pi(x)$ a quantidade de primos menores ou iguais a $x$. Ainda adolescente, Gauss percebeu, consultando tabelas, que perto de um número $x$ a densidade dos primos é cerca de $\frac{1}{\ln x}$, e propôs a estimativa $$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t},$$a integral logarítmica. Ninguém sabia provar que ela era boa, nem explicar os desvios.
No meio do artigo de 1859 sobre os números primos, Riemann escreve uma frase quase de passagem. Falando de uma função ligada à zeta, cujas raízes reais correspondem aos zeros da zeta sobre a reta crítica, ele diz: É muito provável que todas as raízes sejam reais. Seria desejável, sem dúvida, uma demonstração rigorosa; mas, depois de algumas tentativas rápidas e vãs, deixei provisoriamente de lado a sua busca, pois ela não parecia necessária para o objetivo seguinte da minha investigação. — Bernhard Riemann, Sobre o número de primos menores que uma grandeza dada (1859)
Eratóstenes e a peneira de números Eratóstenes viveu no século III a.C. e é lembrado por um método de encontrar primos: o crivo. Pense numa peneira que retira os números compostos e deixa os primos à vista. Sua vez de investigar: Escreva os números de 2 a 20. Preserve o 2 e risque seus múltiplos maiores que ele; depois faça o mesmo com o 3. Quais números ficam? Conheça a fonte histórica no MacTutor, da Universidade de St Andrews.