No meio do artigo de 1859 sobre os números primos, Riemann escreve uma frase quase de passagem. Falando de uma função ligada à zeta, cujas raízes reais correspondem aos zeros da zeta sobre a reta crítica, ele diz:

É muito provável que todas as raízes sejam reais. Seria desejável, sem dúvida, uma demonstração rigorosa; mas, depois de algumas tentativas rápidas e vãs, deixei provisoriamente de lado a sua busca, pois ela não parecia necessária para o objetivo seguinte da minha investigação.

— Bernhard Riemann, Sobre o número de primos menores que uma grandeza dada (1859)

Em linguagem moderna, a frase é a hipótese de Riemann:

Todos os zeros não triviais da função zeta têm parte real igual a $\frac{1}{2}$.

A reta crítica

Os zeros triviais da zeta estão nos inteiros pares negativos. Todos os outros ficam na faixa $0 < \sigma < 1$, e, pela equação funcional, aparecem simetricamente em relação à reta $\sigma = \frac{1}{2}$, a reta crítica. A hipótese diz que eles estão todos exatamente sobre ela.

Sobre a reta crítica, $\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ pode ser multiplicada por um fator de módulo 1 para virar uma função real, $Z(t)$, que troca de sinal em cada zero. O gráfico mostra $Z(t)$ entre $t = 10$ e $t = 60$:

Os primeiros zeros estão em $t \approx 14{,}135$, $21{,}022$, $25{,}011$, $30{,}425$, $32{,}935$… Eles não seguem nenhum padrão simples, mas ficam cada vez mais próximos: até a altura $T$ há cerca de $\frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ zeros.

Os cálculos secretos de Riemann

Riemann não publicou nenhum cálculo de zeros. Por isso, durante décadas, pensou-se que a frase “é muito provável” fosse um palpite. Em 1932, Carl Ludwig Siegel examinou as notas que Riemann deixou em Göttingen e encontrou nelas uma fórmula assintótica sofisticada para calcular $\zeta$ sobre a reta crítica, com a qual Riemann tinha encontrado os primeiros zeros. A fórmula, hoje chamada de fórmula de Riemann–Siegel, é a que a figura acima usa, e continua sendo a base dos cálculos modernos.

O que se sabe

  • Em 1914, G. H. Hardy provou que infinitos zeros estão sobre a reta crítica.
  • Em 1942, Atle Selberg mostrou que uma fração positiva deles está na reta; Brian Conrey, em 1989, que mais de 40% estão.
  • Os computadores já verificaram mais de dez trilhões de zeros: todos sobre a reta crítica.

Nada disso é uma demonstração. Os números envolvidos na teoria dos primos são tão grandes que um contraexemplo poderia estar muito além de qualquer cálculo.

Por que importa

Se a hipótese for verdadeira, o erro na contagem dos primos é o menor possível: $\pi(x)$ difere de $\operatorname{li}(x)$ por no máximo algo da ordem de $\sqrt{x}\,\ln x$. Os primos estariam distribuídos de forma tão regular quanto permite o seu caráter aparentemente aleatório. Centenas de teoremas já foram demonstrados na forma “se a hipótese de Riemann for verdadeira, então…”, e todos ganhariam uma prova de uma vez.

Exercício: quantos zeros até 50?

Use a fórmula $N(T) \approx \frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ para estimar quantos zeros há com $0 < t < 50$, e compare com a figura.

$\frac{50}{2\pi} \approx 7{,}96$ e $\frac{50}{2\pi e} \approx 2{,}93$, cujo logaritmo é $\approx 1{,}07$. Então $N(50) \approx 7{,}96 \times 1{,}07 \approx 8{,}5$. A fórmula completa tem ainda um termo $+\frac{7}{8}$, que leva a $\approx 9{,}4$. Na figura há 10 zeros até $t = 50$: 14,1; 21,0; 25,0; 30,4; 32,9; 37,6; 40,9; 43,3; 48,0 e 49,8. A estimativa é boa já para valores pequenos.

Exercício: a simetria dos zeros

A equação funcional implica que, se $\rho$ é um zero não trivial, então $1 - \rho$ também é. Além disso, como $\zeta$ assume valores reais nos números reais, o conjugado $\bar{\rho}$ também é um zero. Se $\rho = \sigma + it$ for um zero fora da reta crítica, quantos zeros aparecem “de graça”?

São quatro zeros: $\sigma + it$, $\sigma - it$, $(1 - \sigma) - it$ e $(1 - \sigma) + it$, nos vértices de um retângulo centrado na reta crítica. Se $\sigma = \frac{1}{2}$, o retângulo se reduz a dois pontos, $\frac{1}{2} \pm it$. Um contraexemplo para a hipótese viria sempre acompanhado de pelo menos três outros.

Fontes: Bernhard Riemann, “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (1859) · Carl Ludwig Siegel, “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 2 (1932) · Enrico Bombieri, “Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis”, Clay Mathematics Institute (2000) · Harold M. Edwards, Riemann’s Zeta Function (1974) · Xavier Gourdon, “The 10¹³ first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height” (2004).

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