Probabilidade

O teorema de ouro: a lei dos grandes números

Até o mais tolo dos homens, por algum instinto da natureza, sozinho e sem nenhuma instrução, está convencido de que, quanto mais observações forem feitas, menor é o perigo de errar o alvo. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Com um dado, sabemos de antemão a chance de cada face: $\frac16$. Mas qual é a chance de um homem de 40 anos viver mais vinte? De chover amanhã? De um remédio funcionar? Nesses casos não há faces iguais para contar. Jakob propôs outro caminho: observar muitas vezes e usar a frequência como estimativa da probabilidade. Se, de muitos homens de 40 anos, metade chegou aos 60, a chance deve ser perto de metade.

October 11, 2026 Iniciar leitura

O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

October 8, 2026 Iniciar leitura

Fermat e Pascal: a divisão justa de um jogo interrompido

Dois jogadores apostam o mesmo valor num jogo de várias rodadas: ganha tudo quem vencer primeiro um certo número delas. No meio da partida, o jogo precisa ser interrompido. Como dividir o dinheiro de forma justa? Esse é o problema dos pontos. Parece simples, mas derrubou matemáticos por mais de 150 anos. A resposta errada Em 1494, o frade italiano Luca Pacioli propôs dividir o prêmio na proporção das rodadas já ganhas. Se A ganhou 2 rodadas e B ganhou 1, A leva $\frac23$ do prêmio.

October 7, 2026 Iniciar leitura

A probabilidade clássica e a integral de Gauss

A probabilidade matemática começou com jogos de azar, nas cartas entre Pascal e Fermat em 1654, e ganhou o seu primeiro grande teorema com a lei dos grandes números de Jakob Bernoulli. Laplace a transformou numa teoria completa. O seu primeiro trabalho sobre o assunto é de 1774; a Teoria analítica das probabilidades, de 1812, reuniu quase quarenta anos de pesquisa, e o Ensaio filosófico sobre as probabilidades, de 1814, explicou tudo sem fórmulas para o público.

October 30, 2026 Iniciar leitura

A bruxa na estatística: a distribuição de Cauchy

Agnesi morreu em 1799 sem imaginar que a sua curva teria uma segunda vida, longe da geometria. No século XIX ela reapareceu na teoria das probabilidades, como um dos exemplos mais traiçoeiros da estatística. Uma densidade de probabilidade Vimos em A área sob a curva que a área total sob $y = \frac{1}{1 + x^2}$ é $\pi$. Dividindo por $\pi$, a área passa a ser 1, e a curva se torna uma densidade de probabilidade:

October 29, 2026 Iniciar leitura

O método de Monte Carlo: calcular jogando dados

Uma partida de paciência, um laboratório de armas nucleares e um computador de válvulas parecem pertencer a histórias diferentes. Entre 1946 e 1949, esses três mundos se encontraram no método de Monte Carlo: transformar uma pergunta matemática numa experiência com sorteios e estimar a resposta repetindo essa experiência muitas vezes. A descoberta teve vários autores e várias etapas. Ulam formulou a ideia que desencadeou o projeto; von Neumann ajudou a transformá-la num plano de cálculo; Metropolis participou da implementação e sugeriu o nome; Klára Dán von Neumann programou a simulação. Para entender o acontecimento, é preciso acompanhar esse trabalho coletivo.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Banburismo: pesar indícios em decibans

A bomba era rápida, mas não o bastante para testar todas as ordens de rotores da Enigma naval. Em 1940, Turing inventou um método de lápis e papel para descartar a maioria delas antes de ligar as máquinas. Como as folhas usadas no método eram impressas na cidade de Banbury, os colegas o batizaram de banburismo. O método é estatístico. E, para fazê-lo, Turing reinventou uma das ideias centrais da estatística moderna.

October 18, 2026 Iniciar leitura

Os números de Bernoulli: somar mil potências em sete minutos

Com a ajuda desta tabela, levei menos de meio quarto de hora para descobrir que as décimas potências dos mil primeiros números, somadas, dão 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte II Conta-se que Gauss, menino, somou de 1 a 100 em segundos, emparelhando o primeiro com o último: $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$. Para os quadrados e os cubos também há fórmulas, conhecidas desde Arquimedes e os árabes:

October 11, 2026 Iniciar leitura

A cicloide: a curva da dor de dente

Pinte um ponto no pneu de uma bicicleta e empurre-a em linha reta. O ponto sobe, faz um arco e desce de novo até tocar o chão, uma vez a cada volta da roda. A curva que ele desenha se chama cicloide. No século XVII, ela era a curva da moda. Os franceses a chamavam de roulette. Tantos matemáticos brigaram pelas descobertas sobre ela que ganhou um apelido: a Helena dos geômetras, por causa da Helena de Troia, que provocou uma guerra.

October 8, 2026 Iniciar leitura

O teorema do limite central

Jogue um dado: cada face tem a mesma chance, e o gráfico das probabilidades é plano. Jogue dois e some: a soma 7 é a mais provável, e o gráfico vira um triângulo. Jogue dez, trinta, cem: o gráfico da soma vai ganhando a forma de um sino. O mesmo acontece se, em vez de dados, somarmos moedas, roletas ou erros de medida. Esse fato surpreendente é o teorema do limite central.

October 30, 2026 Iniciar leitura

A moeda viciada que vira justa

Suponha que você tenha uma moeda torta. Ela cai cara com uma probabilidade $p$ que você não conhece, talvez $0{,}7$, talvez $0{,}55$. Dá para usá-la num sorteio perfeitamente justo, meio a meio? No mesmo artigo de 1951 em que falou do “estado de pecado” de quem fabrica números ao acaso, von Neumann deu uma resposta curta e surpreendente. O truque Jogue a moeda duas vezes: se sair cara, coroa, diga “cara”; se sair coroa, cara, diga “coroa”; se sair cara, cara ou coroa, coroa, esqueça e jogue mais duas vezes. Por que é justo? Os dois lançamentos são independentes, então

October 27, 2026 Iniciar leitura

O legado de James Bernoulli

James Bernoulli viveu só cinquenta anos e publicou pouco em vida, quase tudo em artigos curtos nas Acta Eruditorum. Mesmo assim, poucos matemáticos deixaram tantas palavras, símbolos e ideias que ainda usamos todos os dias: integral, ensaio de Bernoulli, distribuição binomial, números de Bernoulli, lei dos grandes números, estocástico. A palavra integral Leibniz chamava a operação inversa da derivada de calculus summatorius, o cálculo das somas, e a escrevia com o $\int$, um S alongado de summa. Em maio de 1690, ao resolver o problema da isócrona, Jakob escreveu que as duas expressões tinham “integrais iguais”. Foi a primeira vez que a palavra integral apareceu impressa num texto de matemática. Johann adotou o termo, e em 1696 Leibniz concordou em trocar o seu “cálculo sumatório” pelo cálculo integral dos Bernoulli. O símbolo ficou o de Leibniz; o nome, o de Jakob.

October 11, 2026 Iniciar leitura