Faça sempre uma figura: marque o ângulo reto, os dados e a incógnita. Em seguida, escolha o triângulo retângulo em que a incógnita e os dados aparecem juntos. Relações métricas 321 Calcule os elementos $a$, $h$, $m$ e $n$ indicados na figura (catetos $b = 4$ e $c = 3$). Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Ver a resoluçãoSendo $c = 3$ e $b = 4$: $$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$
Sabemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Neste capítulo vamos desenvolver uma teoria geométrico-trigonométrica que permite calcular as medidas de segmentos e ângulos de um triângulo retângulo partindo de um número mínimo de dados. A história As relações métricas do triângulo retângulo são das mais antigas da matemática. Tabletes babilônicos de cerca de 1800 a.C., como o famoso Plimpton 322, listam ternos de números que satisfazem $a^2 = b^2 + c^2$, e o tablete YBC 7289 traz uma excelente aproximação de $\sqrt{2}$, a diagonal do quadrado de lado 1. A primeira demonstração conhecida do teorema, porém, é grega: ela aparece como a proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides (cerca de 300 a.C.), e a tradição a atribui à escola de Pitágoras.
Relações métricas 506 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 Determine $x$ em função de $a$ nos casos: Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 Determine $x$ nos casos: Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8
A diagonal do quadrado, a altura do triângulo equilátero e as razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° saem todas do mesmo teorema. Quem descobriu A diagonal do quadrado já foi calculada pelos babilônios: a tábua YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) dá $\sqrt{2}$ com seis casas decimais corretas. As razões entre os lados de um triângulo retângulo começaram como tabelas astronômicas: Hiparco de Niceia (século II a.C.) montou uma tabela de cordas, o indiano Aryabhata (499) passou a usar a meia-corda — o nosso seno — e astrônomos islâmicos como Abu al-Wafa (século X) organizaram tabelas de sombras, as nossas tangentes. A fórmula que gera todos os triângulos pitagóricos, com lados $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$, aparece num lema do livro X dos Elementos de Euclides.
O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas essa é só uma de várias relações que a altura revela dentro do triângulo retângulo. Quem descobriu A relação entre os lados do triângulo retângulo é muito mais antiga que Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Tábuas da Babilônia de cerca de 1800 a.C. usam ternos como 3, 4, 5 e calculam a diagonal do quadrado; os Sulba Sutras da Índia (c. 800–500 a.C.) enunciam a regra para construir altares; e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma prova visual. A tradição grega associou o teorema a Pitágoras, mas não há prova documental de que ele o tenha demonstrado. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.47 prova o teorema por áreas, e a I.48 prova a recíproca. As relações com a altura — cada cateto e a altura como médias proporcionais — estão na proposição VI.8 e no seu corolário.