Elementos e relações métricas

Sabemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Neste capítulo vamos desenvolver uma teoria geométrico-trigonométrica que permite calcular as medidas de segmentos e ângulos de um triângulo retângulo partindo de um número mínimo de dados.

A história

As relações métricas do triângulo retângulo são das mais antigas da matemática. Tabletes babilônicos de cerca de 1800 a.C., como o famoso Plimpton 322, listam ternos de números que satisfazem $a^2 = b^2 + c^2$, e o tablete YBC 7289 traz uma excelente aproximação de $\sqrt{2}$, a diagonal do quadrado de lado 1. A primeira demonstração conhecida do teorema, porém, é grega: ela aparece como a proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides (cerca de 300 a.C.), e a tradição a atribui à escola de Pitágoras.

Quem foi Pitágoras

Pitágoras (c. 570–495 a.C.) nasceu na ilha de Samos e, depois de viagens que a tradição leva ao Egito e à Babilônia, fundou em Crotona, no sul da Itália, uma comunidade que era ao mesmo tempo escola, seita religiosa e partido político. Os pitagóricos acreditavam na transmigração das almas, eram vegetarianos, evitavam comer favas e guardavam segredo sobre as suas descobertas — por isso é impossível saber o que foi feito pelo mestre e o que foi feito pelos discípulos. O lema da escola era “tudo é número”: eles haviam descoberto que as notas musicais agradáveis correspondem a razões simples entre comprimentos de cordas, $2:1$, $3:2$ e $4:3$. Conta a lenda que, ao demonstrar o teorema, Pitágoras sacrificou cem bois aos deuses — o que não combina muito com o vegetarianismo. Ironicamente, o próprio teorema levou à descoberta de que a diagonal do quadrado não é uma razão entre inteiros, abalando o “tudo é número”.

Pitágoras de Samos (c. 570–495 a.C.), representação artística posterior.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público

A figura da proposição I.47 dos Elementos. A reta tracejada, que desce de $A$ perpendicular à hipotenusa, divide o quadrado vermelho em dois retângulos: Euclides prova que cada um tem a área de um dos quadrados menores, e assim $a^2 = b^2 + c^2$.

Fontes: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics (MacTutor) · Pitágoras (MacTutor) · Euclides, Elementos, livro I, proposição 47.

No dia a dia

Esquadro de pedreiro. Para conferir se duas paredes formam ângulo reto, marca-se 3 m numa, 4 m na outra e mede-se a diagonal: tem de dar 5 m.
Atalho. Atravessar na diagonal um terreno de 30 m por 40 m percorre 50 m, em vez de 70 m pelos lados.
Estais de antenas. O cabo que prende uma torre de altura $h$ a um ponto do chão a uma distância $d$ da base mede $\sqrt{h^2 + d^2}$.

O esquadro do pedreiro: 3 m numa parede, 4 m na outra; se a diagonal der 5 m, o canto é reto, porque $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Teoria

Elementos principais

Para os elementos de um triângulo $ABC$ usaremos a notação habitual:

elemento	notação
lados	$\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{AC}$
ângulos internos	$B\hat{A}C$, $A\hat{B}C$, $A\hat{C}B$
medidas dos lados	$a = BC$, $b = AC$, $c = AB$
medidas dos ângulos	$\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$

Cada lado tem o nome (minúsculo) do vértice oposto. Sempre que tratarmos de um triângulo $ABC$ retângulo, estaremos pensando que o ângulo $\hat{A}$ mede $90^\circ$. O lado $\overline{BC}$, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa; os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$, adjacentes ao ângulo reto, são os catetos. Para simplificar a linguagem, diremos que o triângulo tem hipotenusa $a$ e catetos $b$ e $c$, confundindo os lados com suas medidas.

Propriedades geométricas

Tomemos um triângulo $ABC$ retângulo em $A$ e conduzamos $\overline{AD}$ perpendicular a $\overline{BC}$, com $D$ em $\overline{BC}$. Obtemos:

$\overline{AD}$, a altura relativa à hipotenusa (medida $h$);
$\overline{BD}$, a projeção do cateto $\overline{AB}$ sobre a hipotenusa (medida $m$);
$\overline{CD}$, a projeção do cateto $\overline{AC}$ sobre a hipotenusa (medida $n$).

Os ângulos $\hat{B}$ e $D\hat{A}C$ são congruentes (ambos são complementos de $\hat{C}$), e do mesmo modo $\hat{C} \equiv B\hat{A}D$. Assim, os três triângulos $ABC$, $DBA$ e $DAC$ são semelhantes, por terem ângulos dois a dois congruentes. Dessa semelhança saem as relações métricas.

TeoremaRelações métricas no triângulo retângulo

$c^2 = a \cdot m$ e $b^2 = a \cdot n$: cada cateto é média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre ela.
$b \cdot c = a \cdot h$: o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela.
$h^2 = m \cdot n$: a altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre os segmentos que ela determina na hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: $a^2 = b^2 + c^2$.

Ver as demonstrações

1) $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ dá $\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{m}$, isto é, $c^2 = am$. E $\triangle ABC \sim \triangle DAC$ dá $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{n}$, isto é, $b^2 = an$.

2) $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ dá também $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{h}$, isto é, $bc = ah$.

3) $\triangle DBA \sim \triangle DAC$ dá $\dfrac{h}{n} = \dfrac{m}{h}$, isto é, $h^2 = mn$.

4) Somando membro a membro as duas relações de (1):

$$b^2 + c^2 = an + am = a(n + m) = a \cdot a = a^2.$$

A mediana relativa à hipotenusa

TeoremaMediana relativa à hipotenusa

Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede a metade da hipotenusa. Consequentemente, todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa circunferência cujo diâmetro é a hipotenusa.

Ver a demonstração

Sejam $M$, $N$ e $O$ os pontos médios de $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$. Pelo teorema da base média, $\overline{OM} \parallel \overline{AC}$ e $\overline{ON} \parallel \overline{AB}$; como $\hat{A}$ é reto, o quadrilátero $AMON$ é um retângulo. As diagonais de um retângulo são iguais, logo

$$OA = MN = \frac{BC}{2}.$$

Então $OA = OB = OC = \frac{a}{2}$, e a circunferência de centro $O$ e raio $\frac{a}{2}$ passa pelos três vértices.

Os exercícios desta seção são os de números 321 a 330 da lista do capítulo.

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