James Bernoulli viveu só cinquenta anos e publicou pouco em vida, quase tudo em artigos curtos nas Acta Eruditorum. Mesmo assim, poucos matemáticos deixaram tantas palavras, símbolos e ideias que ainda usamos todos os dias: integral, ensaio de Bernoulli, distribuição binomial, números de Bernoulli, lei dos grandes números, estocástico. A palavra integral Leibniz chamava a operação inversa da derivada de calculus summatorius, o cálculo das somas, e a escrevia com o $\int$, um S alongado de summa. Em maio de 1690, ao resolver o problema da isócrona, Jakob escreveu que as duas expressões tinham “integrais iguais”. Foi a primeira vez que a palavra integral apareceu impressa num texto de matemática. Johann adotou o termo, e em 1696 Leibniz concordou em trocar o seu “cálculo sumatório” pelo cálculo integral dos Bernoulli. O símbolo ficou o de Leibniz; o nome, o de Jakob.
Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Jakob Bernoulli, pintado em 1687 pelo irmão Niklaus Bernoulli: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Ars conjectandi, Basileia, 1713: página de origem · domínio público. Lápide de Jakob Bernoulli no claustro da catedral de Basileia, foto de Wladyslaw Sojka: página de origem · Licença Arte Livre. Corte de uma concha de náutilo, foto de Florian Elias Rieser: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, o desenho das duas espirais e o gráfico da proporção de caras em lançamentos simulados de uma moeda são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. A tabela das notações da integral, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de cálculo deste site.
Escreva $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$Parece uma conta como $3+4=7$: parcelas à esquerda, resultado à direita. Mas ninguém jamais somou todas essas parcelas, nem vai somar. O sinal de igual aqui faz um trabalho diferente de todos os que o capítulo 4 listou. Ele afirma que as somas parciais $$1,\quad1{,}5,\quad1{,}75,\quad1{,}875,\quad\ldots$$se aproximam de $2$ tanto quanto se queira. Em símbolos, $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$O $\infty$ em cima do $\Sigma$ é o mesmo $\infty$-direção do texto anterior: não é uma última parcela, é a ordem de continuar.