Escreva

$$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$

Parece uma conta como $3+4=7$: parcelas à esquerda, resultado à direita. Mas ninguém jamais somou todas essas parcelas, nem vai somar. O sinal de igual aqui faz um trabalho diferente de todos os que o capítulo 4 listou. Ele afirma que as somas parciais

$$1,\quad1{,}5,\quad1{,}75,\quad1{,}875,\quad\ldots$$

se aproximam de $2$ tanto quanto se queira. Em símbolos,

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$

O $\infty$ em cima do $\Sigma$ é o mesmo $\infty$-direção do texto anterior: não é uma última parcela, é a ordem de continuar.

0,999… = 1

A igualdade que mais incomoda os alunos é

$$0{,}999\ldots=1.$$

Muitos acham que $0{,}999\ldots$ “chega muito perto, mas nunca chega” em $1$. A objeção tem uma origem semiótica: as reticências parecem descrever um processo que está acontecendo, e um processo não termina. Mas $0{,}999\ldots$ não é um processo; é o nome do limite desse processo:

$$0{,}999\ldots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots=\frac{9/10}{1-1/10}=1.$$

Os pesquisadores David Tall e Shlomo Vinner, num estudo de 1981 que se tornou clássico, chamaram isso de conflito entre a imagem do conceito, o que o aluno imagina quando vê o símbolo, e a definição do conceito. A imagem é “algo que se aproxima”; a definição é “o número de que tudo se aproxima”.

Somas que enganam

Quando as somas parciais não se aproximam de nada, a escrita com $=$ continua a mesma, e é aí que mora o perigo.

A série de Grandi. Em 1703, o padre italiano Guido Grandi considerou

$$1-1+1-1+1-\cdots$$

Agrupando de um jeito, $(1-1)+(1-1)+\cdots=0$. De outro, $1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$. Grandi concluiu que a soma era $\frac12$, e viu nisso uma imagem da criação do mundo a partir do nada. As somas parciais, $1,0,1,0,\ldots$, não se aproximam de nada: a série não tem soma no sentido do limite.

O $-1$ de Euler. A fórmula da série geométrica, $1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$, vale para $|x|<1$. Euler a aplicou com $x=2$ e escreveu

$$1+2+4+8+\cdots=\frac1{1-2}=-1.$$

Uma soma de números positivos dando negativo. A escrita aceitou a substituição sem protestar; foi preciso que os matemáticos do século XIX exigissem que todo $=$ com reticências viesse com uma prova de convergência.

A ordem importa

Nas somas finitas, a ordem das parcelas não importa: $3+4=4+3$. Nas infinitas, pode importar. A série harmônica alternada

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=\ln2\approx0{,}693$$

converge. Agora reordene as mesmas parcelas, pondo dois negativos depois de cada positivo:

$$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots$$

Agrupando de três em três, cada grupo é $\frac1{2k-1}-\frac1{2(2k-1)}-\frac1{4k}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)$, e a soma inteira vira metade da original: $\frac12\ln2$. Bernhard Riemann provou que, para séries assim, uma reordenação conveniente dá qualquer valor que se queira. O sinal $\Sigma$ não mostra a ordem das parcelas, e a ordem, aqui, é tudo.

Exercício: 0,333… e 0,999…

Escreva $0{,}333\ldots$ como série geométrica e calcule a soma. Depois use o resultado para obter $0{,}999\ldots$

$0{,}333\ldots=\frac3{10}+\frac3{100}+\cdots=\frac{3/10}{1-1/10}=\frac13$. Multiplicando por 3: $0{,}999\ldots=3\cdot\frac13=1$. Quem aceita $0{,}333\ldots=\frac13$ e recusa $0{,}999\ldots=1$ está recusando uma multiplicação por 3.

Exercício: onde Aquiles alcança

Com os dados da curiosidade, ache o ponto de encontro sem série, e confira com a série.

Seja $d$ a distância que Aquiles corre até alcançar a tartaruga. Ela corre $\frac{d}{10}$ no mesmo tempo, e $d=100+\frac d{10}$, logo $d=\frac{1000}9=111{,}1\ldots$ metros. A série geométrica dá o mesmo: $\frac{100}{1-1/10}=\frac{1000}{9}$.

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