Teorema De Pitágoras

Elementos e relações métricas

Sabemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Neste capítulo vamos desenvolver uma teoria geométrico-trigonométrica que permite calcular as medidas de segmentos e ângulos de um triângulo retângulo partindo de um número mínimo de dados. A história As relações métricas do triângulo retângulo são das mais antigas da matemática. Tabletes babilônicos de cerca de 1800 a.C., como o famoso Plimpton 322, listam ternos de números que satisfazem $a^2 = b^2 + c^2$, e o tablete YBC 7289 traz uma excelente aproximação de $\sqrt{2}$, a diagonal do quadrado de lado 1. A primeira demonstração conhecida do teorema, porém, é grega: ela aparece como a proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides (cerca de 300 a.C.), e a tradição a atribui à escola de Pitágoras.

October 24, 2026 Iniciar leitura

O seno de π/n e os arcos notáveis

Verificaremos que as funções circulares dos reais $x = \dfrac{\pi}{n}$, com $n \in \mathbb{N}$ e $n \ge 3$, podem ser calculadas a partir de $\ell_n$, o lado do polígono regular de $n$ lados inscrito no ciclo. A história No livro I do Almagesto, Ptolomeu construiu a sua tábua de cordas exatamente assim: partiu dos lados dos polígonos regulares inscritos — triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e decágono —, que a geometria de Euclides sabia calcular, e obteve os outros arcos por meio de fórmulas de soma, diferença e metade de arcos, que veremos no capítulo VI. A corda de um arco $2\alpha$ num círculo de raio $R$ é $2R\operatorname{sen}\alpha$: o teorema deste capítulo é a tradução moderna dessa ideia.

October 23, 2026 Iniciar leitura

Relações fundamentais

Todas as relações deste tópico saem de duas ferramentas da geometria plana: o teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos. A figura abaixo mostra os três triângulos que usaremos. Arraste $P$ e escolha a relação. O painel confere numericamente cada igualdade. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. A história No Almagesto, Ptolomeu já usava o equivalente de $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$: se conhecia a corda de um arco, obtinha a corda do arco suplementar pelo teorema de Pitágoras no triângulo inscrito na semicircunferência. As relações com tangente e secante aparecem nos trabalhos de Abu al-Wafa (século X) e de Nasir al-Din al-Tusi (século XIII), cujo Tratado sobre o quadrilátero tornou a trigonometria uma disciplina independente da astronomia.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 14 — Triângulos retângulos

Relações métricas 506 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 Determine $x$ em função de $a$ nos casos: Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 Determine $x$ nos casos: Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8

October 9, 2026 Iniciar leitura

Aplicações do teorema de Pitágoras

A diagonal do quadrado, a altura do triângulo equilátero e as razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° saem todas do mesmo teorema. Quem descobriu A diagonal do quadrado já foi calculada pelos babilônios: a tábua YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) dá $\sqrt{2}$ com seis casas decimais corretas. As razões entre os lados de um triângulo retângulo começaram como tabelas astronômicas: Hiparco de Niceia (século II a.C.) montou uma tabela de cordas, o indiano Aryabhata (499) passou a usar a meia-corda — o nosso seno — e astrônomos islâmicos como Abu al-Wafa (século X) organizaram tabelas de sombras, as nossas tangentes. A fórmula que gera todos os triângulos pitagóricos, com lados $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$, aparece num lema do livro X dos Elementos de Euclides.

October 9, 2026 Iniciar leitura

Relações métricas

O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas essa é só uma de várias relações que a altura revela dentro do triângulo retângulo. Quem descobriu A relação entre os lados do triângulo retângulo é muito mais antiga que Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Tábuas da Babilônia de cerca de 1800 a.C. usam ternos como 3, 4, 5 e calculam a diagonal do quadrado; os Sulba Sutras da Índia (c. 800–500 a.C.) enunciam a regra para construir altares; e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma prova visual. A tradição grega associou o teorema a Pitágoras, mas não há prova documental de que ele o tenha demonstrado. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.47 prova o teorema por áreas, e a I.48 prova a recíproca. As relações com a altura — cada cateto e a altura como médias proporcionais — estão na proposição VI.8 e no seu corolário.

October 9, 2026 Iniciar leitura

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é uma das proposições mais conhecidas e fundamentais da matemática, estabelecendo uma relação elegante entre os lados de um triângulo retângulo. A história deste teorema é tão fascinante quanto a sua aplicação matemática, pois atravessa culturas e épocas, revelando como o conhecimento matemático é acumulado e compartilhado através das gerações. Atribuído tradicionalmente ao filósofo e matemático grego Pitágoras, que viveu entre aproximadamente 570 a.C. e 495 a.C., o teorema afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, conhecidos como catetos.

July 11, 2024 Iniciar leitura