Teoria Dos Jogos

A vida de John von Neumann

Linha do tempo 1903Nasce em 28 de dezembro em Budapeste, filho de um banqueiro. 1913O pai recebe um título de nobreza; o filho passa a ser “von Neumann”. 1921Termina o ginásio luterano de Budapeste, onde estudou com Eugene Wigner. 1923Publica, aos 19 anos, a sua definição dos números ordinais. 1926Diploma de engenharia química em Zurique e doutorado em matemática em Budapeste. 1927Torna-se o mais jovem Privatdozent da Universidade de Berlim. 1928Publica o teorema minimax, base da teoria dos jogos. 1930Vai para Princeton. Em 1933 é um dos primeiros professores do Instituto de Estudos Avançados. 1932Publica os Fundamentos matemáticos da mecânica quântica. 1943Começa a trabalhar em Los Alamos, no projeto da bomba atômica. 1944Publica, com Oskar Morgenstern, a Teoria dos jogos e do comportamento econômico. 1945Escreve o relatório sobre o EDVAC, que descreve o computador de programa armazenado. 1946Com Stanisław Ulam, desenvolve o método de Monte Carlo. 1952O computador do IAS entra em funcionamento. 1955É nomeado para a Comissão de Energia Atômica. Descobre um câncer. 1957Morre em 8 de fevereiro, em Washington, aos 53 anos. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1903–1921 BudapesteNasce em 28 de dezembro, filho de um banqueiro. Estuda no ginásio luterano, onde é colega de Eugene Wigner. 1921–1923 BerlimEstuda química, por insistência do pai, enquanto está matriculado no doutorado em matemática em Budapeste. 1923–1926 ZuriqueForma-se em engenharia química na Escola Politécnica. Tem aulas com George Pólya, que diria que ele foi o único aluno de quem teve medo. 1926–1927 GöttingenTrabalha com David Hilbert nos fundamentos da matemática e da nova mecânica quântica. 1927–1930 BerlimMais jovem livre-docente da universidade. Publica em 1928 o teorema minimax. 1930–1957 PrincetonProfessor na universidade e, a partir de 1933, no Instituto de Estudos Avançados, ao lado de Einstein e Gödel. Ali constrói o computador do IAS. 1943–1955 Los AlamosConsultor do projeto da bomba atômica. Com Ulam, cria o método de Monte Carlo. 1955–1957 WashingtonMembro da Comissão de Energia Atômica. Morre de câncer em 8 de fevereiro de 1957, no Hospital Walter Reed. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. De Budapeste a Washington, passando por Zurique, Göttingen, Berlim, Princeton e Los Alamos. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 26, 2026 Iniciar leitura

A vida de John Nash

Linha do tempo 1928Nasce em 13 de junho, em Bluefield, na Virgínia Ocidental, nos Estados Unidos. 1945Entra no Carnegie Institute of Technology, em Pittsburgh, para estudar engenharia química. Muda para a matemática. 1948Chega a Princeton. Inventa o jogo que os colegas chamam de “Nash”, hoje conhecido como Hex. 1950Defende a tese “Jogos não cooperativos”, com o equilíbrio de Nash. Publica “O problema da barganha”. 1951Torna-se professor no MIT. 1956Publica o teorema da imersão isométrica. 1957Casa-se com Alicia Lardé, estudante de física do MIT. 1958Publica o resultado sobre a regularidade das equações parabólicas. 1959Primeira internação psiquiátrica. Começam três décadas de doença. 1994Recebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2001Casa-se de novo com Alicia. Estreia o filme Uma Mente Brilhante. 2015Recebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Morre num acidente de carro em 23 de maio, com Alicia. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1928–1945 BluefieldCresce numa cidade de ferrovias e carvão. Lê Men of Mathematics e prova sozinho o pequeno teorema de Fermat. 1945–1948 PittsburghNo Carnegie Institute of Technology, troca a engenharia química pela matemática e tem a ideia da barganha. 1948–1951 PrincetonInventa o Hex e defende a tese de 28 páginas com o equilíbrio de Nash. 1951–1959 MITProfessor no MIT. Prova o teorema da imersão e o resultado sobre equações parabólicas. Em 1959 começa a doença. 1970–2015 PrincetonVaga pelos corredores como “o fantasma de Fine Hall” e, no fim dos anos 1980, se recupera. 1994 EstocolmoRecebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2015 OsloRecebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Na volta, em 23 de maio, morre com Alicia num acidente de táxi em Nova Jersey. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os lugares de John Nash, de Bluefield a Princeton, e as viagens para receber o Nobel e o Abel. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

O jogo de Hex: por que o primeiro jogador ganha

Em 1948, na sala comum do prédio de matemática de Princeton, onde professores e alunos jogavam xadrez e Go durante a tarde, John Nash apresentou um jogo novo. O tabuleiro é um losango coberto de casas hexagonais, como um favo de mel. Dois jogadores, vermelho e azul, colocam peças alternadamente, uma por vez, em casas vazias. As peças nunca se movem. O vermelho quer formar uma corrente de peças vermelhas ligando a borda de cima à de baixo; o azul, uma corrente azul ligando a esquerda à direita.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O teorema minimax: como jogar sem ser adivinhado

No par ou ímpar, não existe jogada boa. Se você sempre põe um dedo, o adversário aprende e passa a ganhar sempre. A única defesa é não ser previsível: jogar ao acaso, metade das vezes um, metade das vezes dois. Assim, faça o adversário o que fizer, você ganha metade das partidas. Em 1928, num artigo chamado Sobre a teoria dos jogos de salão, von Neumann mostrou que essa ideia vale para todo jogo de soma zero entre duas pessoas, em que o que um ganha o outro perde. E que ela leva sempre a um número exato, o valor do jogo.

October 26, 2026 Iniciar leitura

O equilíbrio de Nash: ninguém melhora sozinho

Um ponto de equilíbrio é uma n-upla tal que a estratégia mista de cada jogador maximiza o seu ganho se as estratégias dos outros forem mantidas fixas. — John Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences (1950) Em 1944, John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, um livro enorme que transformava em matemática as decisões estratégicas: jogos de cartas, guerras, mercados. O grande resultado de von Neumann valia para jogos de soma zero entre dois jogadores, em que o que um ganha o outro perde, como o xadrez ou o pôquer. Mas a maior parte da vida não é assim: num acordo comercial, numa negociação ou no trânsito, os dois lados podem ganhar juntos, ou perder juntos.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Estratégias mistas: o pênalti e o par ou ímpar

Todo jogo finito tem um ponto de equilíbrio. — John Nash, Non-Cooperative Games, tese de doutorado (1950) Alguns jogos não têm equilíbrio nenhum se cada jogador escolher uma jogada fixa. O mais simples é o par ou ímpar. Ana escolhe “par”, Bruno escolhe “ímpar”, e cada um mostra um ou dois dedos. Se a soma for par, Ana ganha um ponto; se for ímpar, ganha Bruno. Reduzindo cada escolha a “um” ou “dois” dedos, os ganhos são:

October 15, 2026 Iniciar leitura

A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A equação do calor e a regularidade de De Giorgi e Nash

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemáticos, em Paris, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas que, para ele, guiariam a matemática do século XX. O problema 19 perguntava, em linguagem simples: as soluções dos problemas “bem comportados” do cálculo das variações são sempre funções suaves? Meio século depois, a pergunta continuava aberta para uma classe importante de equações. Em 1956, Nash ouviu falar dela por um colega e decidiu atacá-la.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O legado de John Nash

Estatisticamente, pareceria improvável que um matemático ou cientista, aos 66 anos, pudesse, por meio de esforços continuados de pesquisa, acrescentar muito às suas realizações anteriores. Mas eu ainda estou fazendo o esforço. — John Nash, nota autobiográfica para a Fundação Nobel (1994) John Nash é a única pessoa a ter recebido o Prêmio Nobel e o Prêmio Abel, os dois maiores reconhecimentos em economia e em matemática. As duas metades da sua obra parecem não ter nada em comum: uma é sobre decisões humanas, a outra sobre superfícies e equações. O que as une é o estilo: atacar problemas que todos achavam impossíveis com ideias que ninguém tinha tido.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Fotografias e imagens Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de John Nash, foto de Peter Badge: página de origem · CC BY-SA 3.0. John Nash em 2006, em Colônia, foto de Elke Wetzig: página de origem · CC BY-SA 3.0. Imersão isométrica do toro plano, projeto Hevea, enviada por Romainbehar: página de origem · CC0. Figuras do blog A capa, o tabuleiro de Hex e o gráfico do produto dos ganhos na barganha são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O tabuleiro mostra uma partida inventada, em que o vermelho completou a sua corrente.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O legado de John von Neumann

Às vezes me pergunto se um cérebro como o de von Neumann não indica uma espécie superior à do homem. — Hans Bethe, prêmio Nobel de Física, citado por Norman Macrae Os oito textos desta trilha mostram só uma parte do que von Neumann fez. A lista completa ocupa seis volumes de obras reunidas e passa por quase todos os ramos da matemática do seu tempo. Matemática pura Álgebras de operadores. Entre 1929 e 1943, em parte com Francis Murray, criou a teoria das álgebras de operadores que hoje se chamam álgebras de von Neumann, um dos campos mais ativos da análise e da física matemática. Teorema ergódico. Em 1932 provou uma versão do teorema que justifica um princípio da física estatística: a média de uma grandeza ao longo do tempo é igual à média sobre todos os estados possíveis. O quinto problema de Hilbert. Em 1933 resolveu o caso compacto de um dos problemas que Hilbert tinha proposto em 1900, sobre quando um grupo contínuo é automaticamente “liso”. Economia, tempo e estratégia Crescimento econômico. Num artigo publicado em 1937, apresentado anos antes num seminário em Princeton, construiu um modelo de economia em expansão e provou a existência de um equilíbrio com a mesma matemática do minimax. É um dos textos fundadores da economia matemática. Previsão do tempo. Em 1950, um grupo liderado por Jule Charney, com von Neumann, fez no ENIAC a primeira previsão numérica do tempo: 24 horas de previsão levaram cerca de 24 horas de cálculo. Hoje os modelos que preveem o tempo e o clima descendem desse experimento. Estratégia nuclear. Na Guerra Fria, a teoria dos jogos foi usada para pensar a corrida armamentista, e von Neumann participou do planejamento dos mísseis intercontinentais. A expressão “destruição mútua assegurada”, ligada a esse raciocínio, ainda resume uma época. A palavra “singularidade” Em 1958, Stanisław Ulam escreveu um texto em memória do amigo. Nele lembrou uma conversa sobre o progresso cada vez mais acelerado da tecnologia, que parecia se aproximar de “alguma singularidade essencial na história da espécie, além da qual a vida humana, como a conhecemos, não poderia continuar”. É o primeiro uso registrado da palavra nesse sentido, que décadas depois virou tema de discussões sobre inteligência artificial.

October 27, 2026 Iniciar leitura