Teoria Dos Números

O teorema de Pitágoras à moda de Euclides

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. — Euclides, Elementos, Proposição I.47 Muito antes dos gregos, os agrimensores do Egito, que remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo, eram chamados de esticadores de corda. Conta-se que usavam uma corda com 12 nós igualmente espaçados: esticada num triângulo de lados 3, 4 e 5, ela dava um ângulo reto. Os babilônios conheciam muito mais: uma tabuleta de barro de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, traz uma lista de triângulos retângulos com lados inteiros, alguns enormes, como 3 367, 3 456 e 4 825.

October 12, 2026 Iniciar leitura

O pequeno teorema de Fermat: potências e restos

Pegue o número 2 e eleve a potências cada vez maiores. Divida cada resultado por 7 e anote o resto: Potência $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ Valor 2 4 8 16 32 64 Resto por 7 2 4 1 2 4 1 Em $2^6$, o resto é 1. Agora tente com 3 e o primo 5: $3^4=81$, que deixa resto 1 na divisão por 5. E com 10 e o primo 13: $10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$, que também deixa resto 1 na divisão por 13.

October 7, 2026 Iniciar leitura

Quatro quadrados bastam

Pegue um número inteiro positivo qualquer e tente escrevê-lo como soma de quadrados perfeitos, $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, usando o menor número possível de parcelas: $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$Alguns números são quadrados, outros precisam de dois, outros de três. O 7 precisa de quatro: não há outro jeito. Será que algum número precisa de cinco? Em 1770, Lagrange provou que não: Todo número inteiro positivo é soma de quatro quadrados de inteiros.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A identidade de Sophie Germain: fatorar o que parece primo

Há números que parecem primos e não são. O $629$, por exemplo, não é par, não termina em 5 e não é múltiplo de 3. Mas $629=5^4+4$, e essa forma o entrega: ele se fatora por uma identidade que leva o nome de Sophie Germain. A identidade Para quaisquer números $a$ e $b$, $$\begin{aligned}a^4+4b^4={}&\left(a^2+2b^2+2ab\right)\\&\times\left(a^2+2b^2-2ab\right).\end{aligned}$$O truque para descobri-la é completar o quadrado, como na fórmula de Bhaskara. A soma $a^4+4b^4$ é quase o quadrado de $a^2+2b^2$; falta só o termo do meio, $4a^2b^2$. Somando e subtraindo esse termo,

October 13, 2026 Iniciar leitura

A álgebra feita com quadrados e retângulos

Se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos. — Euclides, Elementos, Proposição II.4 Os gregos não tinham letras para as incógnitas, nem sinais de mais e de menos, nem o sinal de igual. Quando queriam falar de $a\cdot b$, falavam de um retângulo de lados $a$ e $b$; quando queriam $a^2$, falavam de um quadrado de lado $a$. As palavras “quadrado” e “cubo”, que usamos para as potências, vêm daí. O Livro II dos Elementos é inteiro feito assim: são identidades da álgebra, enunciadas e provadas como fatos sobre áreas. Os historiadores o chamam de álgebra geométrica.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Números de Fermat: uma conjectura e um contraexemplo

Os matemáticos sempre sonharam com uma fórmula que só produzisse números primos. Em 1640, Fermat achou que tinha encontrado uma. Cinco primos seguidos Fermat estudou os números da forma $$F_n=2^{2^n}+1.$$O expoente é uma potência de 2: $1,2,4,8,16,\ldots$ Calculando os primeiros: $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$Os cinco são primos. Verificar $65\,537$ à mão, testando divisores até sua raiz quadrada, já dava trabalho. Fermat escreveu a Frénicle de Bessy que estava convencido de que todos os números dessa forma eram primos, embora admitisse não ter uma demonstração.

October 7, 2026 Iniciar leitura

Permutar as raízes: o teorema de Lagrange

Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5. Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

October 14, 2026 Iniciar leitura

As figuras de Chladni e o prêmio das placas vibrantes

Espalhe areia sobre uma placa de metal presa pelo centro e passe um arco de violino na borda. A placa começa a cantar, e a areia, como se tivesse vontade própria, foge de alguns lugares e se junta em outros, desenhando linhas, cruzes, estrelas e curvas simétricas. Mude a nota, e o desenho muda. São as figuras de Chladni. Como se excita uma placa de Chladni: a placa é presa pelo centro e o arco de violino passa pela borda. Gravura de um livro de 1879.Autor desconhecido, 1879 · Wikimedia Commons · domínio público O som que se vê O alemão Ernst Chladni publicou essas figuras em 1787, num livro chamado Descobertas sobre a teoria do som. A explicação qualitativa é simples. Quando a placa vibra, quase todos os seus pontos sobem e descem, e jogam a areia para longe. Mas algumas linhas ficam paradas: são as linhas nodais. A areia escorrega para lá e fica. O desenho é um mapa dos lugares onde a placa não se mexe.

October 13, 2026 Iniciar leitura

O algoritmo de Euclides: o máximo divisor comum

O algoritmo de Euclides é o avô de todos os algoritmos, porque é o mais antigo algoritmo não trivial que sobreviveu até os dias de hoje. — Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2 (1969) Você tem duas varas, uma de 252 cm e outra de 105 cm, e quer encontrar a maior régua que mede as duas exatamente, um número inteiro de vezes. Em linguagem de hoje, quer o máximo divisor comum, $\operatorname{mdc}(252,105)$. Pode-se listar todos os divisores de cada número e procurar o maior em comum, mas com números grandes isso é impraticável. No Livro VII dos Elementos, Euclides ensina um caminho muito mais rápido.

October 12, 2026 Iniciar leitura

A contagem dos números primos

Os números primos parecem aparecer ao acaso: 2, 3, 5, 7, 11, 13, depois um buraco até 17, 19, 23, outro até 29. Mas, olhando de longe, eles obedecem a uma regra. Chame de $\pi(x)$ a quantidade de primos menores ou iguais a $x$. Ainda adolescente, Gauss percebeu, consultando tabelas, que perto de um número $x$ a densidade dos primos é cerca de $\frac{1}{\ln x}$, e propôs a estimativa $$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t},$$a integral logarítmica. Ninguém sabia provar que ela era boa, nem explicar os desvios.

October 31, 2026 Iniciar leitura

A derivada sem infinitésimos e o teorema do valor médio

No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e ninguém sabia explicar direito por quê. Os $dx$ de Leibniz eram quantidades “infinitamente pequenas”: às vezes eram tratadas como se fossem diferentes de zero, para poder dividir por elas, e logo depois como se fossem zero, para poder desprezá-las. O bispo Berkeley tinha zombado disso em 1734, chamando-as de “fantasmas de quantidades mortas”. Lagrange se incomodava com isso. Em 1797, publicou um livro com um subtítulo que é um programa inteiro:

October 14, 2026 Iniciar leitura

A curvatura média: de quanto uma superfície se dobra

Para escrever a equação das placas vibrantes, Sophie Germain precisou responder a uma pergunta que parece simples: quanto uma superfície está dobrada num ponto? A resposta dela, a curvatura média, é usada até hoje para estudar bolhas de sabão, membranas de células e cascas de avião. A curvatura de uma curva Comecemos por uma linha. Uma reta não se dobra, e dizemos que a sua curvatura é zero. Um círculo se dobra igualmente em todos os pontos, e quanto menor ele é, mais se dobra. Por isso a curvatura de um círculo de raio $R$ é definida como

October 13, 2026 Iniciar leitura