Teoria Dos Números

Os números primos não acabam

Os números primos são mais do que qualquer quantidade proposta de números primos. — Euclides, Elementos, Proposição IX.20 Um número primo é um inteiro maior que 1 que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Todos os outros, como $12=2\cdot2\cdot3$, são produtos de primos. Os primos são os átomos da aritmética. Quanto mais se avança, mais raros eles ficam. Entre 1 e 100 há 25 primos; entre 1 000 001 e 1 000 100, só 6. Será que, a partir de algum ponto, eles acabam? Euclides mostrou que não, com um argumento de quatro linhas que o matemático inglês G. H. Hardy considerava um dos mais belos de toda a matemática.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Os multiplicadores de Lagrange: otimizar com uma restrição

Quase toda decisão real é um problema de máximo ou mínimo com restrição. Uma fábrica quer o maior lucro, mas tem uma quantidade limitada de matéria-prima. Uma lata deve guardar 350 ml usando o mínimo de alumínio. Um pêndulo se move como quiser, desde que a bolinha fique presa ao fio. Lagrange encontrou um método único para todos esses problemas. Ele aparece na Mecânica analítica, de 1788, para tratar das amarrações dos sistemas mecânicos, e na Teoria das funções analíticas, de 1797, como regra geral de cálculo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de Sophie Germain

A álgebra não passa de uma geometria escrita; a geometria não passa de uma álgebra desenhada. — Sophie Germain, Considerações gerais sobre o estado das ciências e das letras (1833) Sophie Germain trabalhou quase sempre sozinha, sem diploma, sem cargo e sem alunos. Não teve acesso às aulas, às revistas nem às discussões em que os matemáticos da época aprendiam uns com os outros, e isso aparece nos seus trabalhos: ideias muito originais, às vezes com lacunas que um professor teria apontado a tempo. Mesmo assim, deixou o seu nome em dois campos que quase não se tocam, a teoria dos números e a teoria da elasticidade.

October 13, 2026 Iniciar leitura

O quinto postulado e as outras geometrias

Do nada, criei um universo novo e estranho. — János Bolyai, carta ao pai (3 de novembro de 1823) Os quatro primeiros postulados de Euclides são curtos e evidentes: traçar uma reta, prolongá-la, desenhar um círculo, todos os ângulos retos são iguais. O quinto é diferente: Se uma reta, ao cortar duas outras, forma do mesmo lado ângulos internos cuja soma é menor que dois retos, essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Descida infinita: uma solução menor leva à contradição

Imagine uma escada em que cada degrau tem um número inteiro positivo. Você pode descer: 10, 7, 4, 2, 1… mas em algum momento a escada acaba. Não existe uma sequência infinita de inteiros positivos cada vez menores. Parece óbvio. Fermat transformou essa obviedade numa das ferramentas mais poderosas da teoria dos números: a descida infinita. Como funciona Para provar que uma equação não tem solução em inteiros positivos: Suponha que ela tenha uma solução. A partir dela, construa outra solução, também em inteiros positivos, mas menor. Repita: dessa nova solução sai outra menor, e assim por diante, para sempre. Isso é impossível, porque a escada dos inteiros positivos acaba. Logo, a solução do passo 1 não existia. Fermat tinha orgulho do método. Numa carta de 1659 ao matemático Pierre de Carcavi, disse que era com ele que tinha provado a maior parte dos seus resultados sobre números.

October 7, 2026 Iniciar leitura

O legado de Lagrange

Lagrange é a alta pirâmide das ciências matemáticas. — Napoleão Bonaparte, segundo os contemporâneos Lagrange não deixou anedotas de gênio precoce como Pascal, nem uma obra do tamanho da de Euler. Deixou outra coisa: um jeito de fazer matemática. Onde os outros desenhavam, ele calculava; onde os outros achavam um truque para cada problema, ele procurava a regra que explicava todos os truques. Quase tudo o que fez continua nos livros com o seu nome: a equação de Euler-Lagrange, a lagrangiana, os pontos de Lagrange, o teorema de Lagrange, o resto de Lagrange, os multiplicadores de Lagrange.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens de Sophie Germain

Imagens históricas e fotos Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons; o retrato foi apenas convertido de PNG para JPEG. Retrato de Sophie Germain, desenho de Berthe Chégaray de uma medalha em sua memória, publicado em 1896: página de origem · domínio público. Figuras das Pesquisas sobre a teoria das superfícies elásticas, Sophie Germain, 1821, exemplar da ETH-Bibliothek Zürich: página de origem · domínio público. Placa de Chladni excitada por um arco, gravura de 1879: página de origem · domínio público. Túmulo no cemitério do Père-Lachaise, foto de Pierre-Yves Beaudouin, 2015: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, as linhas nodais de uma placa quadrada e o desenho das curvaturas da esfera, do cilindro e da sela são ilustrações originais. As linhas nodais foram calculadas com o modelo simplificado descrito no texto, e não reproduzem fotos de placas reais.

October 13, 2026 Iniciar leitura

O legado de Euclides

Estudou e quase dominou os seis primeiros livros de Euclides depois de ter sido deputado. — Abraham Lincoln, nota autobiográfica (1860) Os Elementos são, depois da Bíblia, um dos livros mais vezes copiados, traduzidos e impressos da história. Desde a primeira edição impressa, em Veneza, em 1482, houve mais de mil edições. Durante mais de dois mil anos, “estudar geometria” quis dizer “estudar Euclides”. A primeira edição impressa dos Elementos, feita por Erhard Ratdolt em Veneza, em 1482, numa tradução latina. As figuras ficam nas margens, ao lado do texto; um leitor antigo encheu as páginas de anotações.Folger Shakespeare Library · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 As muitas faces de um livro O antigo curso de trigonometria deste site reunia algumas edições que mudaram a forma de apresentar Euclides:

October 12, 2026 Iniciar leitura

O último teorema de Fermat: da margem à prova de Wiles

Todo mundo conhece o teorema de Pitágoras: $3^2+4^2=5^2$. Existem infinitos trios de inteiros assim, como $5,12,13$ e $8,15,17$. E com cubos? Existem inteiros positivos com $a^3+b^3=c^3$? E com quartas potências? A nota na margem A página do problema II.8 na edição de 1670 da Aritmética de Diofanto. Logo abaixo do problema vem a “Observatio Domini Petri de Fermat”: a nota da margem, impressa pelo filho de Fermat.Diofanto, ed. Samuel de Fermat (1670) · Wikimedia Commons · domínio público Por volta de 1637, lendo o problema de Diofanto sobre dividir um quadrado em dois quadrados, Fermat escreveu na margem do livro, em latim:

October 7, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens de Lagrange

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Joseph-Louis Lagrange, gravura de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Medalhão com o perfil de Lagrange, bronze de Pierre-Jean David d’Angers, Musées d’Angers: página de origem · CC0. Folha de rosto da Méchanique analitique, Paris, 1788: página de origem · domínio público. Estátua de Lagrange em Turim, foto de Twice25, 2009: página de origem · CC BY-SA 3.0. Figuras do blog A capa, o diagrama dos cinco pontos de Lagrange e o gráfico das curvas de mesma área com a reta da restrição são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama dos pontos está fora de escala: L1 e L2 ficam, na verdade, cem vezes mais perto da Terra do que o Sol.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Não existe nenhum retrato de Euclides feito em vida; as imagens dele que circulam são invenções de artistas muito posteriores. Papiro de Oxirrinco com a Proposição II.5, c. 100 d.C., Museu da Universidade da Pensilvânia: página de origem · domínio público. Detalhe da Escola de Atenas, de Rafael, 1509–1511: página de origem · domínio público. A Proposição I.47 na edição de Oliver Byrne, Londres, 1847, digitalização de Mirko Junge: página de origem · domínio público. Primeira edição impressa dos Elementos, Erhard Ratdolt, Veneza, 1482, Folger Shakespeare Library: página de origem · CC BY-SA 4.0. Edição árabe dos Elementos, versão de Nasir al-Din al-Tusi, Roma, 1594, Biblioteca Houghton: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa, a construção do triângulo equilátero, a figura do teorema de Pitágoras e a de completar o quadrado são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O exemplo de completar o quadrado, $x^2+10x=39$, e o exercício $x^2+8x=65$ vêm do antigo curso deste site sobre a fórmula de Bhaskara, cujas figuras foram redesenhadas; os exemplos 3, 4, 5 e 6, 8, 10 e a tabela de edições vêm dos antigos cursos de geometria e trigonometria.

October 12, 2026 Iniciar leitura

O legado de Fermat

O pai da teoria dos números Folha de rosto da edição de 1670 da Aritmética de Diofanto, impressa em Toulouse “com as observações de P. de Fermat”. Foi por este livro, publicado pelo filho cinco anos depois da morte do pai, que as notas da margem chegaram a Euler.Bernard Bosc, Toulouse (1670) · Wikimedia Commons · domínio público Antes de Fermat, os problemas sobre números inteiros eram vistos como enigmas, quebra-cabeças de Diofanto. Fermat os transformou numa área da matemática, com perguntas profundas e métodos próprios. Durante quase um século, quase ninguém o acompanhou. Foi Euler, a partir de 1730, quem leu as notas de Fermat, provou boa parte delas e fez da teoria dos números um ramo central da matemática. Depois vieram Lagrange, Legendre e Gauss.

October 7, 2026 Iniciar leitura