Os geômetras gregos sabiam calcular o volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. A esfera resistia. No tratado em dois livros Sobre a esfera e o cilindro, Arquimedes resolveu o problema e encontrou relações de uma simplicidade surpreendente. Os teoremas Chame de círculo máximo o círculo que passa pelo centro da esfera, como o equador. Arquimedes demonstrou que: a superfície da esfera é quatro vezes a área do círculo máximo: $S = 4\pi r^2$; o volume da esfera é quatro vezes o de um cone cuja base é o círculo máximo e cuja altura é o raio: $V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$. E daí tirou a consequência que mais o encantava. Considere o cilindro que envolve a esfera exatamente, com raio $r$ e altura $2r$. O seu volume é $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, e a superfície total, contando as duas tampas, é $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$. Então