三角形

测试——三角形

直角三角形和任何三角形：三角比、正弦和余弦定律（第九章和第十章）。 Teste 189CESCEA-74 在下面的直角三角形中，只有一个给出了正确的数据。标记一下： Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. a) 三角形 (a)b) 三角形 (b)c) 三角形 (c)d) 三角形 (d)e) 我不知道 (c)中，$\cos 60^\circ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$：邻边是斜边的一半。 (a)中与$30^\circ$相邻的边应为$4\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}$； (b) 与边 $\sqrt{3}$ 相对的角有切线 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 并测量为 $30^\circ$；在 (d) 中，角为 $45^\circ$ 的三角形的边相等。

October 25, 2026 阅读

三角测量：测量不交叉的距离

想象一个球位于溪流的另一边。你想知道到它的距离，但你不知道您不能将卷尺横过或拉过水面。三角形可以帮助：代替测量整个路径，我们测量安全部分并观察两个角度。显示测量值的三角形我们将 P 称为我们想要到达的点。在边缘上找到一个点 A 使得从 A 到 P 的线段与边缘形成直角。在页边空白处标记另一个点 B，即距A有一段距离。在 B 处，将返回 A 的方向与返回 P 的方向进行比较。当这些方向形成一个角度 $45°$，三角形 ABP 有：与 A 成直角； B 处的角度为 $45°$； P 中的角为 $45°$，因为三角形的三个角加起来为 $180°$。 $45°$ 的两个角的相对边具有相同的长度。因此，$AB=AP$。从远处看从 A 到点 P 等于我们可以测量的边距延伸。带有步骤的示例假设您在 A 的 8 m 处标记了 B。从 B 到 P 时，您会看到与方向的角度 BA 来自 $45°$。然后： $$AP=AB=8\text{ m}.$$结果并没有说明从 B 到 P 的距离也是 8 米：那条边是斜边并且尺寸更大。确定正在计算的距离与进行数学计算一样重要。在日常生活中我们的眼睛。每只眼睛看到物体的角度都略有不同；大脑“解出三角形”并估计距离。闭上一只眼睛会让这变得更加困难。带有两个摄像头的手机。“人像模式”背景模糊使用相同的原理：两个分开的镜头比较角度并计算到每个点的距离。 **恒星。**天文学家通过在地球轨道两侧观察到的角度差（视差）来测量到附近恒星的距离。两只眼睛形成一个三角形的底边：物体距离越远，视图之间的角度越小。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 20, 2026 阅读

多边形：边和顶点

仅使用直线部分绘制图形，不要将铅笔从纸上取下，直到回到起点无需穿越道路。您绘制了一个多边形！什么是多边形 Definição · 多边形多边形是一个平坦的闭合图形，仅由直线（边）组成，不相交。两条边相交的点是顶点。圆不是多边形：它的轮廓是弯曲的。开放图形也不是多边形。选择边数并拖动黄色球。当两侧交叉时会发生什么？ Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 多边形的名称每个多边形都具有相同数量的边和顶点。从名字就可以看出有多少个：侧面姓名记住 3 三角形 “tri” = 三，如三轮车 4 四边形 “四”=四 5 五角大楼美国五角大楼 6 六边形蜂窝 8 八边形停车标志停止标志 STOP 标志有 8 条边：它是一个八边形。没有其他路标具有这种格式，所以即使从后面或被雪覆盖，驾驶员也能认出它。四边形：有四个边的族在四边形中，有些有特殊的名称：正方形、矩形、菱形（如黄色警告标志）、平行四边形和梯形。你将学习它们在小学二中冷静下来。火柴棍使用 12 根相等的牙签，组装一个具有 3 边的多边形，一个具有 4 边的多边形，一个具有 6 边的多边形，使用所有每个都有牙签。每边有多少根牙签？检查答案三角形：12 ÷ 3 = 4 棍子在一边。平方：12 ÷ 4 = 3 棍子。六边形：12 ÷ 6 = 2 棍子.

October 8, 2026 阅读

阅读：欧几里得和演绎几何

进一步阅读 Leitura 欧几里得和演绎几何公元前338，希腊受马其顿统治。亚历山大大帝将希腊文化带到了东方，并建立了数十座城市。其中之一，位于埃及的亚历山大，将在数学史上发挥非凡的作用。在亚历山大之后统治埃及的托勒密在那里创建了博物馆，这是一个由国家维护的研究和教学中心。他的图书馆有近 700 一千卷纸莎草纸。克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域博物馆最早也是最著名的数学家之一是欧几里得（约公元前 300 BC），但人们对他的生平几乎一无所知。据说，当托勒密问是否有更短的学习几何的方法时，他回答说：“几何学中没有真正的方法。” 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域他的名声源自于几何原本，共十三本书：这是迄今为止最古老的希腊数学完整文本。自第一个印刷版1482以来，已有一千多个版本。欧几里得从五个常见概念、五个公设和一些定义推导出467定理。两千年来，几何原本一直是优秀数学的典范。随着时间的推移，逻辑缺陷被发现（例如，使用从未陈述过的连续性假设），但它们几乎没有削弱这项工作的伟大性和影响力。

October 3, 2026 阅读

4 章中的练习 — 三角形

练习和决议练习 80 — 分类为真 (V) 或假 (F) 所有等腰三角形都是等边。 VF Falso. 等腰三角形可以具有与其他边不同的底边。所有等边三角形都是等腰。 VF Verdadeiro. 它有（至少）两个一致的侧面。不等边三角形可以是等腰。 VF Falso. 斜角没有两个全等的边。每个等腰三角形都是一个锐角三角形。 VF Falso. 有等腰矩形和钝角。每个直角三角形都是不等边三角形。 VF Falso. 等腰矩形（45°、45°、90°）是一个反例。有直角三角形和等腰三角形。 VF Verdadeiro. 双腿一致。有等腰三角形钝角。 VF Verdadeiro. 钝顶角，如120°、30°、30°。每个锐角三角形要么是等腰三角形，要么是等边。 VF Falso. 存在不等角直角，例如50°、60°、70°。 ↻ Recomeçar

October 3, 2026 阅读

三角形中的不等式

在每个三角形中，每条边都小于其他两条边的总和。古人曾戏言“驴都知道”。谁发现的三角不等式是欧几里得的几何原本的命题I.20（c. 300 BC）；最大边和最大角之间的关系在命题I.18和I.19中。线段是两点之间最短路径的想法很早以前就很直观。欧几里得的优点是根据之前的结果展示它。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事普罗克洛斯（公元 5 世纪）说，伊壁鸠鲁派嘲笑欧几里得证明了三角不等式：他们说，即使是驴子也知道通往干草的直线路径比绕过它要短。普罗克洛斯回答说，感知一个事实并不等于知道它为什么是真的。演示表明，结果取决于飞机的属性，因此可能不再适用于其他几何形状，例如地球表面。 20世纪，三角不等式成为定义数学中任何“距离”的三个规则之一。它出现在分析、统计和计算中，远离三角形。在日常生活中 **草地上的捷径。**穿过广场和花园的小径表明，人们在实践中知道对角线比两边都短。 **三根棍子能形成一个三角形吗？**只有当最大的一根棍子小于另外两根棍子的总和时。 2 cm、3 cm 和 6 cm 杆未闭合。 **送货路线。**物流算法使用三角不等式来排除永远不可能更短的偏差。屋顶。在一把剪刀中，与最大角度相反的一侧是最长的梁 - 正如命题 I.18 和 I.19 所说。来源：元素，命题 I.20 · 元素，命题 I.18 · Proclus (MacTutor)。理论与结构 Teorema · 最大角与最大边相对如果三角形的两条边不相等，则它们相对的角也不相等，最大的角与最大的边相对：$BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。 **倒数：**最大角度与最大边相对：$\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。查看演示**直接。**将$D$与$\overline{CD} \equiv \overline{CA}$一起带入$\overline{BC}$。由于 $BC > AC$、$D$ 位于角度 $C\hat{A}B$ 的内部，因此 $C\hat{A}B > C\hat{A}D$。 $\triangle CAD$ 与底边 $\overline{AD}$: $C\hat{A}D \equiv C\hat{D}A$ 等腰。而$C\hat{D}A$是$\triangle ABD$的外角，因此$C\hat{D}A > A\hat{B}D$。加入：$C\hat{A}B > C\hat{D}A > A\hat{B}C$，即$\hat{A} > \hat{B}$。 **倒数。**如果是$BC < AC$，根据直接定理我们会得到$\hat{A} < \hat{B}$；如果是$BC \equiv AC$，则通过等腰三角形、$\hat{A} \equiv \hat{B}$。两者都与假设相矛盾，因此$BC > AC$。

October 3, 2026 阅读

三角形全等

两个三角形什么时候是彼此的“副本”？六项不必检查，选三项就够了。谁发现的带有作者姓名的最古老的标准是真主（一侧和两个相邻的角）。普罗克洛斯，引用罗德岛的尤德穆斯的话，说米利都的泰勒斯（公元前6世纪）用它来计算船只在海上的距离。案例展示鲎试剂（提案 I.4）， LLL (I.8) 和真主 (I.26) 位于元素的欧几里得（约公元前 300 年）。 1899年，大卫·希尔伯特表明 LAL 案例需要被接受为公理。雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域大卫·希尔伯特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域故事为了证明 LAL 的情况，欧几里得“移动”一个三角形并将其放置在另一个三角形的顶部——即所谓的叠加法。自古以来，评论家就指出没有任何假设认可这一运动。许多人接受了这个证据；其他人，例如文艺复兴时期的数学家 Jacques Peletier (1557) 则批评了它。

October 3, 2026 阅读

概念、要素和分类

三角形是最简单、最有用的多边形：任何其他多边形都可以分为三角形。谁发现的自埃及和美索不达米亚以来，三角形就出现在装饰品、建筑和面积计算中：莱茵纸莎草纸（约公元前 1650 BC）已经提出了有关三角形土地面积的问题。至今使用的分类来自欧几里德（c. 300 BC）。在几何原本的定义I.20和I.21中，他通过边（等边、等腰和不等边角）和角（矩形、钝角和直角）来分隔三角形。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事这些名称是希腊语和描述性的：isosceles 意思是“平等的腿”，scalene 意思是“跛脚”或“不平等”。等边三角形有一个重要的地位：它是几何原本（命题 I.1）的第一个构造，由两个圆圈和一把尺子组成。《几何原本》第一个英文版的扉页，由 Henry Billingsley 翻译于 1570。该版本体现了该作品后来的流通。亨利·比林斯利编辑；查尔斯·托马斯·斯坦福大学的复制品 · 维基共享资源 · 公共领域。几何原本被手工抄写了一千多年，被翻译成阿拉伯语、拉丁语和英语，并在威尼斯以 1482 首次印刷。它是继《圣经》之后历史上版本最多的书籍之一。在日常生活中 **信托。**屋顶、金属桥梁和起重机使用三角形，因为当侧面固定时它们不会变形。 **自行车。**传统的框架由两个三角形组成，这使得它既轻又坚固。标志。“让路”标志是颠倒的等边三角形，汽车的安全三角形是等边。 3D 图形。游戏和动画电影中的角色和场景是由数千个三角形组成的网格。来源：元素，定义 I.20 · 元素，命题 I.1 · 欧几里德 (MacTutor)。理论与结构 Definição · 三角形给定三个非共线点 $A$、$B$ 和 $C$，线段 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的交点称为三角形 $ABC$： $$\triangle ABC = \overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}.$$

October 3, 2026 阅读

三角形和圆形

三角形是几何研究中最常讨论的几何图形之一。它与圆的关系是理解各种几何结果的基础。其中一些结果称为三角形的显着点。三角形的相似度在比例帖子中，我们看到了三角形相似度的概念。在这里我们将证明三角形的相似性可以用圆形来证明。圆里面有三角形 **引理1：**设AB和CD是圆的不同弦，它们相交于圆内的点P。然后 $$\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{PD}{PB} $$ 具有两条相切边的三角形 **引理2：**如果顶角P的两条边与以O为圆心的圆在A点和B点相切，则$PA = PB.$ 具有切线和割线的三角形 **引理3：**设P是圆C外部的一点，r是通过P在B和C处与C相切的直线，s是C在A处的切线。那么 $$\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PA}{PC}$$ 有两条割线的三角形 **引理4：**设P是圆C外部的一点，r是通过P在A和B点与C相割的直线，s是在C和D点与C相割的直线。然后 $$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB}$$ 三角形中的值得注意的点三角形的显着点的性质通常与周长有关。在介绍这些点之前，让我们定义一些几何的基本术语，外心定义 (垂直平分线)：与两个不同点 A 和 B 等距的点的几何轨迹。定理 1：任何三角形的三个垂直平分线边都交于与其顶点等距（相同距离）的点，因此该点是包含三个顶点的圆的中心。定义 (外心)：它是您的垂直平分线之间的交汇点。内心 **定理2：**任何三角形的角平分线都在其内部与边等距的点处相交。以该点为中心且其半径为该公共距离的圆与各边相切。定义 (内心)：它是您的角平分线之间的交汇点。垂心定理 3：任何三角形的（直）高都交于一点。 **定义（垂心）：**它是高地的交汇点。重心 **定理4：**任何三角形的中线相交于一个点，该点到任何顶点的距离等于相应中线测量值的2/3。定义 (重心)：给定一个三角形，其中线的交点称为质心或重心。欧拉直线 **定理5（欧拉直线）：**在任何三角形中，外心、垂心和重心共线。这些是三角形和圆形上的点。等待接下来的帖子。

October 1, 2022 阅读

介绍在上一篇文章中，我们定义了多边形并用于定义四边形及其属性。现在，让我们定义三角形，为此，我们需要多边形的概念。三角形是三边多边形，其中我们使用直线段作为边。凸四边形的对角线将其分成两个三角形。顶点：可以定义为三角形边之间的交点。一般来说，顶点是任何多边形边之间的交点。特别地，三角形由3个顶点形成。对角线：是连接任何平面和空间多边形的两个不连续顶点的直线段。三角形的重要属性之一是它们有对角线。一个重要的观察是，不存在具有两个不连续顶点的三角形。例如，四边形的对角线是三角形的一条边。三角形三角形的另一个定义是根据名称的由来： Tri 定义为 3（三）；角度是由顶点连接的两条直线段之间的**“开口”**。欧几里得定义的第一个Canon（上帝法则）是： Canon α et (更多) β et (更多) γ aequalis (等于) 180° 神律α+β+γ=180&#176；三角形角度半转三角形的分类出于好奇，我们将对三角形进行分类，但不必记住，只需知道这些定义存在即可。按侧面分类比较长度。形状本身并不能代替测量边长。不等边三角形等腰三角形等边三角形所有侧面都有不同的尺寸两侧的尺寸相等所有边的大小都相等按角度分类锐角三角形钝角三角形直角三角形所有内角均小于 90° 恰好有一个内角大于 90° 恰好有一个内角等于 90° 表中的最后一个称为直角三角形，因为其中一个角恰好是九十度的矩形顶点的角度（90°）。拖动顶点：角度之和始终为 180°。在直角三角形中，检查毕达哥拉斯定理。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 三角区从四边形帖子中我们看到矩形的面积由下式给出：

July 5, 2022 阅读