直角三角形和任何三角形：三角比、正弦和余弦定律（第九章和第十章）。
Teste 189CESCEA-74
在下面的直角三角形中，只有一个给出了正确的数据。标记一下：
(c)中，$\cos 60^\circ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$：邻边是斜边的一半。 (a)中与$30^\circ$相邻的边应为$4\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}$； (b) 与边 $\sqrt{3}$ 相对的角有切线 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 并测量为 $30^\circ$；在 (d) 中，角为 $45^\circ$ 的三角形的边相等。
Teste 190CESCEM-75
考虑三角形$ABC$，$A$中的一个矩形，$a = 7{,}5$米，$b = 4{,}5$米和$c = 6$米，$x$是顶点$B$处的角度，可以说$\operatorname{tg} x$等于：
$x$为$B$处的角度；对边是$b = 4{,}5$，相邻边是$c = 6$：$\operatorname{tg} x = \frac{4{,}5}{6} = 0{,}75$。
Teste 191CESCEA-77
在三角形$ABC$中，给出了$A$、$BC = 10$和$\cos\alpha = \frac{3}{5}$中的矩形，其中$\alpha$是$B$中的角度。腿的总和为：
$AB = BC\cos\alpha = 10 \cdot \frac{3}{5} = 6$和$AC = BC\operatorname{sen}\alpha = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8$；总和是14。
Teste 192MACK-77
图中，矩形的高度为50；从左下角到$A$的直线与底边形成$60^\circ$，从左上角到$A$的直线与顶边形成$30^\circ$。 $A$ 垂直于 $B$。 $AB$ 的价值：
令 $w$ 为矩形的宽度，$h = AB$。以左下角$60^\circ$角度为$h = w\sqrt{3}$；左上角 $30^\circ$ 的角度，$h - 50 = \frac{w}{\sqrt{3}}$。减去 $w\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 50$、$w = 25\sqrt{3}$ 和 $h = 75$。
Teste 193EPUSP-66
$\overline{AB}$ 是直角三角形 $ABC$ 的斜边。中位数 $\overline{AD}$ 测量 7，中位数 $\overline{BE}$ 测量 4。 $\overline{AB}$的长度等于：
直角位于 $C$，边 $a = BC$ 和 $b = AC$：$AD^2 = b^2 + \frac{a^2}{4} = 49$ 和 $BE^2 = a^2 + \frac{b^2}{4} = 16$。添加 $\frac{5}{4}(a^2 + b^2) = 65$，然后添加 $AB^2 = a^2 + b^2 = 52$ 和 $AB = 2\sqrt{13}$。
Teste 194GV-70
在三角形 $ABC$ 中，我们知道 $\hat{A} = 90^\circ$、$\hat{B} = 60^\circ$ 和 $AB = 50$ 厘米。然后段 $\overline{AC}$ 测量：
$AC$ 是 $\hat{B}$ 的对边：$AC = AB\operatorname{tg} 60^\circ = 50\sqrt{3}$ 厘米。
Teste 195CESCEM-76
一个人身高 1,70 米，以与水平面成 $\alpha$ 的角度观察树顶； $b$是从眼睛到躯干的水平距离，$a$是从眼睛到顶部的距离。要了解树的大约高度，您必须添加 1,70 m：
在视线高度上方，高度是相邻边三角形 $b$ 中与 $\alpha$ 相对的边（水平距离）：$b\operatorname{tg}\alpha$。添加眼睛的高度，1,70 米。
Teste 196CESCEA-76
图中，$ABC$是$B$中的矩形，$D$位于$A$和$B$之间，$AD = d$，$BC = h$，$C\hat{A}D = \alpha$和$C\hat{D}B = \beta$之间。然后：
在直角三角形 $ABC$ 和 $DBC$ 中：$AB = h\operatorname{cotg}\alpha$ 和 $DB = h\operatorname{cotg}\beta$。然后$d = AB - DB = h(\operatorname{cotg}\alpha - \operatorname{cotg}\beta)$。
Teste 197CESCEA-73
在三角形$ABC$中，有$b = 2$、$\hat{B} = 45^\circ$和$\hat{C} = 60^\circ$。然后$a$侧测量：
$\hat{A} = 75^\circ$ 并且，根据正弦定理， $a = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{\operatorname{sen}\hat{B}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3} + 1$.
Teste 198CESCEM-72
在直角三角形中，其中一条边的值为 1，另一条边的值为 $\operatorname{tg}\varphi$，斜边的值为：
斜边是 $\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\varphi} = \sqrt{\sec^2\varphi} = |\sec\varphi|$（长度始终为正）。
Teste 199GV-73
考虑三角形 $ABC$，它是 $A$ 中的一个矩形，具有斜边 $a$、边 $b = AC$ 和 $c = AB$，并用 $S$ 表示其面积。选择正确的说法：
$\frac{a^2\operatorname{sen} 2\hat{B}}{4} = \frac{(a\operatorname{sen}\hat{B})(a\cos\hat{B})}{2} = \frac{b \cdot c}{2} = S$。其他错误：$\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b}$、$c = a\operatorname{sen}\hat{C}$、$S = \frac{b^2\operatorname{tg}\hat{C}}{2}$、$\cos\hat{B} = \frac{c}{a}$。
Teste 200ITA-75
图中，$c$是半径为$R$的圆，$r$和$s$是与$O$相交的圆的切线，$T$是$s$和$OT = 2R$处的切点。然后检查直线 $r$ 和 $s$ 的角度 $\alpha$：
圆心位于角度 $\alpha$: $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ 的 角平分线 处。然后是$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$，即$\operatorname{sen}\alpha = \frac{4}{5}$和$\cos\alpha = \frac{3}{5}$。
Teste 201SANTA CASA-73
在以 $O$ 为圆心、以 $R$ 为半径的圆中，测量弦 $\frac{3R}{2}$ 确定圆心角 $\alpha$。关于$\alpha$，可以说：
测量弦 $\frac{3R}{2}$ 对着圆心角 $\alpha$：$\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2} = \frac{3R/4}{R} = \frac{3}{4}$、$\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ 和 $\operatorname{sen}\alpha = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$。 （在书中，备选方案被标记为 a、b、c、e（没有 d），模板指示为 d；正确的值是第三个备选方案的值。）
Teste 202MAUÁ-68
在三角形$ABC$中，假定$2\operatorname{tg}\hat{A} = \operatorname{tg}\hat{B} + \operatorname{tg}\hat{C}$和$0 < \hat{A} < \frac{\pi}{2}$。在这个三角形中，关系适用：
在三角形（无直角）中，$\operatorname{tg}\hat{A} + \operatorname{tg}\hat{B} + \operatorname{tg}\hat{C} = \operatorname{tg}\hat{A}\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{C}$，因为 $\operatorname{tg}(\hat{B} + \hat{C}) = -\operatorname{tg}\hat{A}$。与$\operatorname{tg}\hat{B} + \operatorname{tg}\hat{C} = 2\operatorname{tg}\hat{A}$：$3\operatorname{tg}\hat{A} = \operatorname{tg}\hat{A}\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{C}$，以及$\operatorname{tg}\hat{A} \ne 0$、$\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{C} = 3$。
Teste 203ITA-77
考虑一个三角形 $ABC$，其内角 $\hat{A}$、$\hat{B}$ 和 $\hat{C}$ 验证了关系 $\operatorname{sen}\hat{A} = \operatorname{tg}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$。所以我们可以说：
$\operatorname{tg}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = \operatorname{cotg}\frac{\hat{A}}{2}$。然后$2\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}\cos\frac{\hat{A}}{2} = \frac{\cos(\hat{A}/2)}{\operatorname{sen}(\hat{A}/2)} \Rightarrow \operatorname{sen}^2\frac{\hat{A}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A} = \frac{\pi}{2}$。
Teste 204GV-73
在三角形$ABC$中，角度$\hat{A}$和$\hat{B}$分别测量为$60^\circ$和$45^\circ$；边 $\overline{BC}$ 尺寸为 $5\sqrt{6}$ 厘米。因此边$\overline{AC}$的测量为：
根据正弦定理， $AC = \frac{BC\operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A}} = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{\frac{12}{3}} = 10$ 厘米。
Teste 205ITA-73
一艘沿直线航行的船，依次经过点$A$、$B$、$C$。当船舶位于$A$时，船长观察信标$L$并计算角度$L\hat{A}C = 30^\circ$。导航 4 英里至 $B$ 后，检查 $L\hat{B}C = 75^\circ$ 角度。灯塔与点 $B$ 相距多少英里？
在三角形里 $ABL$: 角度为 $A$ 给我 $30^\circ$，角度为 $B$ 给我 $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ 因此角度为 $L$ 给我 $45^\circ$。根据正弦定理， $LB = \frac{AB\operatorname{sen} 30^\circ}{\operatorname{sen} 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}$.
Teste 206MACK-76
图中为$\overline{AC} \perp \overline{CB}$、$\overline{AD} \perp \overline{DC}$、$m(D\hat{A}C) = m(A\hat{B}C) = \beta$和$AB = a$。 $AD$ 的值作为 $a$ 和 $\beta$ 的函数，为：
在三角形$ACB$中，在$C$中为矩形：$AC = a\operatorname{sen}\beta$。在三角形 $ADC$ 中，在 $D$ 中为矩形，在 $A$ 中具有角度 $\beta$：$AD = AC\cos\beta = a\operatorname{sen}\beta\cos\beta = \frac{1}{2}a\operatorname{sen} 2\beta$。
Teste 207ITA-74
希望修建一条铁路连接点$A$到点$B$，该点位于$A$东南$40\sqrt{2}$公里处。 $A$和$B$所在的平原上有一个湖，阻碍了直线施工。为了绕过湖泊，道路将建在 2 笔直路段上，顶点位于 $C$ 点，该点位于 $A$ 以东 36 公里处，以南 27 公里处。 $\overline{CB}$ 部分的长度为：
以 $A$ 为原点，轴 $x$ 向东，轴 $y$ 向北：$B = (40, -40)$（东南方向 $40\sqrt{2}$ 公里处）和 $C = (36, -27)$。然后 $CB = \sqrt{4^2 + 13^2} = \sqrt{185}$ 公里。
Teste 208EPUSP-66
最长边的正方形 $9^2 = 81$ 小于 $6^2 + 8^2 = 100$：三角形是锐角三角形（练习 372）。
Teste 209FFCLUSP-67
给定线段 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 以及角度 $\hat{B}$，可以构造一个以 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 作为边、以 $\hat{B}$ 作为与 $\overline{AC}$ 不相邻的角的三角形，当：
这是不明确的情况，边 $AC$ 与角 $\hat{B}$ 相对，边 $BC$ 与其相邻。如果 $AC > BC$，则始终存在一个（单个）三角形，无论 $\hat{B}$ 是什么（与 $0 < \hat{B} < \pi$ 一起）。在其他情况下，可能不存在三角形。
Teste 210ITA-75
在不等边三角形$ABC$中，与角度$\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$相对的边分别测量为$a$、$b$、$c$。那么表达式 $a\operatorname{sen}(\hat{B} - \hat{C}) + b\operatorname{sen}(\hat{C} - \hat{A}) + c\operatorname{sen}(\hat{A} - \hat{B})$ 的值满足以下选择之一：
是习题399的关系式一：与$a = 2R\operatorname{sen}(\hat{B} + \hat{C})$等，每一项变成正弦平方差，其和为零。
Teste 211GV-75
单位半径圆的内接正八边形的边是$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$。可以得出结论，$\cos\frac{\pi}{8}$ 的值是：
八边形的边是$45^\circ$:$2\operatorname{sen}\frac{\pi}{8} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$的弦。然后是$\operatorname{sen}^2\frac{\pi}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$、$\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$和$\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$。
Teste 212MACK-74
矩形的底边 $\overline{AD}$ 是其高度 $\overline{AB}$ 的三倍，被点 $M$ 和 $N$ 细分为大小相等的三个部分。在这些条件下，$A\hat{M}B + A\hat{N}B + A\hat{D}B$ 等于：
高度为 $AB = h$：$AM = h$、$AN = 2h$、$AD = 3h$。然后是$A\hat{M}B = 45^\circ$、$\operatorname{tg} A\hat{N}B = \frac{1}{2}$和$\operatorname{tg} A\hat{D}B = \frac{1}{3}$。作为 $\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{2} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} = 45^\circ$（练习 268），总和为 $90^\circ$。
Teste 213ITA-75
令 $ABCD$ 为内接于圆的凸四边形。已知$\hat{A} = 2\hat{C}$、$\hat{B} > \hat{D}$和$\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{D} + \operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{C} = -\frac{9}{4}$。此时，$\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$、$\hat{D}$的值分别为：
在内接四边形中，$\hat{A} + \hat{C} = 180^\circ$ 和 $\hat{B} + \hat{D} = 180^\circ$。对于 $\hat{A} = 2\hat{C}$：$\hat{C} = 60^\circ$、$\hat{A} = 120^\circ$ 和 $\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{C} = \frac{3}{4}$。如$\operatorname{tg}\hat{D} = -\operatorname{tg}\hat{B}$：$-\operatorname{tg}^2\hat{B} + \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}$、$\operatorname{tg}^2\hat{B} = 3$；与 $\hat{B} > \hat{D}$、$\hat{B} = 120^\circ$ 和 $\hat{D} = 60^\circ$。
Teste 214ITA-77
令 $A$、$B$ 和 $C$ 为直线上的三个不同点，$B$ 位于 $A$ 和 $C$ 之间。设$a$和$b$($a > 2b$)分别为$\overline{AB}$和$\overline{BC}$的长度。如果线段 $\overline{BD}$ 垂直于线段 $\overline{AC}$，则 $BD = x$ 必须测量多少才能使角度 $B\hat{D}C$ 为 $B\hat{D}A$ 的一半？
对于 $BD = x$ 和 $B\hat{D}C = \theta$：$\operatorname{tg}\theta = \frac{b}{x}$ 和 $\operatorname{tg} 2\theta = \frac{a}{x}$。由双圆弧$\frac{a}{x} = \frac{2b/x}{1 - b^2/x^2}$组成，即$a - \frac{ab^2}{x^2} = 2b$、$x^2 = \frac{ab^2}{a - 2b}$和$x = \frac{ab}{\sqrt{a(a - 2b)}}$。
Teste 215ITA-77
令$d$和$L$分别为平行四边形$ABCD$的对角线$\overline{BD}$和边$\overline{BC}$的长度。对角线 $\overline{BD}$ 与 $\overline{BC}$ 形成角度 $\alpha$，与 $\overline{BA}$ 形成角度 $\beta$。边 $\overline{AB}$ 的长度 $x$ 由下式给出：
在三角形里 $ABD$: $AB = x$, $BD = d$, $A\hat{B}D = \beta$ 和 $A\hat{D}B = D\hat{B}C = \alpha$ （内部替代，如 $AD \parallel BC$）；很快 $B\hat{A}D = \pi - (\alpha + \beta)$。根据正弦定理， $\frac{x}{\operatorname{sen}\alpha} = \frac{d}{\operatorname{sen}(\alpha + \beta)}$.
