方程组：行列式和高斯消元法
为了使用最小二乘法计算轨道，高斯需要求解方程组 许多未知数。每个学生都知道的两个名字都来自这个故事：行列式和 高斯消除。
行列式。 采用具有两个方程的系统：
$$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ 这完全取决于分母中的数字 $ad - bc$：如果它不为零，则系统有一个 解决方案。这个数字“决定”了系统。
从方程组到二阶行列式的记法。Euler’s Eyes 行列式规则：主对角线乘积减去另一条对角线的乘积。Euler’s Eyes Matrix 在拉丁语中意为“子宫”，即孕育事物之处。Euler’s Eyes 这个词首次出现在高斯的Disquisitiones中，在1801中。他称之为 决定因素决定二级形式的属性的数字，$ax^2 + 2bxy + cy^2$。 在1815中，法国人 Augustin-Louis Cauchy 采用了该术语并给予认可：
高斯在他的分析研究中充分利用了这个术语，发现了二级形式的一般性质。我会保留这个名字。
— 奥古斯丁·路易斯·柯西，《巴黎综合理工学院杂志》，1815 1750Gabriel Cramer 使用我们今天编写的行列式公式来求解系统。 1801高斯在Disquisitiones Arithmeticae中使用了单词行列式。 1815柯西采用了当今意义上的术语行列式。 1841Arthur Cayley 将行列式写在两个竖线之间。 1850James Joseph Sylvester 创建了单词矩阵。 高斯消元法。 如果有三个或更多未知数，公式就会变得庞大。高斯路径 这是一次消除一个未知数，直到只剩下一个只有一个未知数的方程。看到与 示例：
