巴塞尔问题
在 1650 中，Pietro Mengoli 问平方反比之和值多少钱：
$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ 伯努利家族尝试过但失败了。总和增长缓慢：对于 10 项，它给出 $1{,}5498$， 100 项给出 $1{,}6350$，1000 项给出 $1{,}6439$。没有人认得号码 她走了。见图：每个条形都是$N$项的总和。
部分和越来越缓慢地向 π²/6 上升。摆弄控制器或测试一百万个术语。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.
1735年，欧拉使用了一个大胆的想法。多项式可以从它的根开始写。他 假设该函数也是如此 $\dfrac{\sin x}{x}$，这值得 $1$ 在 $x = 0$ 并抵消 $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$:
$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$ 该图显示了这个想法的运作情况。蓝色曲线是$\dfrac{\sin x}{x}$，根部标记为红色。曲线 金色是只有几个括号的乘积：增加因子的数量并看到乘积遵循曲线。
