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历史图片与照片 全部来自维基共享资源(Wikimedia Commons)。我们使用共享资源提供的缩略图,未作编辑。 拉普拉斯像,身着元老院议长礼服,让-巴蒂斯特·保兰·盖兰所绘的身后肖像(1838):原始页面 · 公有领域。 博蒙昂诺日,朗格卢瓦上校广场与圣索沃尔教堂,DimiTalen 摄(2024):原始页面 · CC0。 让·勒朗·达朗贝尔像,凯瑟琳·吕叙里耶绘(1777):原始页面 · 公有领域。 黎明时分的巴黎军事学校,DXR 摄:原始页面 · CC BY-SA 3.0。 拉瓦锡-拉普拉斯量热器,John Pass 据 Henry Lascelles 所作版画(1801):原始页面 · 公有领域。 大理石标准米尺,巴黎沃吉拉尔街,Airair 摄:原始页面 · CC BY-SA 3.0。 拉普拉斯墓,圣朱利安-德梅约克的科尔贝-拉普拉斯家族陵墓,Antoine Rex 摄:原始页面 · CC0。 《宇宙体系论》扉页,第二版(1798),数字化文件第 3 页:原始页面 · 公有领域。 《概率的哲学随笔》扉页及“智者”一段所在页,1840 年版,数字化文件第 3 页和第 12 页:原始页面 · 公有领域。 《概率的哲学随笔》第 90 页:原始页面 · 公有领域。 《天体力学》前两卷(1799),美国物理联合会尼尔斯·玻尔图书馆与档案馆摄:原始页面 · 公有领域。 博蒙昂诺日的拉普拉斯雕像,Roland Godefroy 摄:原始页面 · CC BY-SA 4.0。 本站绘图 封面和四幅交互图(木星与土星的合、板上拉普拉斯方程的松弛、骰子之和与正态曲线的比较、继承法则)都是本站原创插图,文字有网站每种语言的版本。拉普拉斯行迹的地图和图表由文件 data/viagens/laplace.yaml 生成。 记录 文件 data/laplace_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 拉普拉斯的全部主题 · ← 拉普拉斯的遗产

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其他贡献和遗产

其他贡献 笛卡尔的漩涡:对他来说,行星被每颗恒星周围的物质漩涡所拖曳。勒内·笛卡尔,哲学原理·公共领域 **光学:**除了折射定律之外,他还研究了镜片的理想形状,即应该具有轮廓 椭圆或双曲线将光线聚焦在一点上。 **笛卡尔的作品集:**曲线 $x^3 + y^3 = 3axy$,他提出该曲线是对费马的挑战 找到切线。 **物理学:**制定了惯性原理的一个版本,即运动中的物体继续运动 如果没有任何障碍,请直线。 **哲学:沉思和哲学原理使其成为 现代哲学。 要记住 笛卡尔生活在法国、荷兰和瑞典之间,并用法语写了方法论 供大家阅读。 他创建了解析几何:点变成了对 $(x, y)$,图形变成了方程。 他展示了如何用尺子和圆规构造 $\sqrt{a}$,并固定了符号 $x$、$y$、$z$ 和 $x^3$。 符号规则告诉我们多项式可以有多少个正根。 多面体的顶点缺陷之和为720°,由此得出公式$V - A + F = 2$。 他解释了彩虹:光线从太阳对面的点开始在 42° 处聚集。 随之而来的是函数的想法:一种“听”一个数字并“说”另一个数字的规则。这个词出自 拉丁文functus,符号$f(x)$是欧拉(1734)。 不存在 $1 \div 0$:接近于零,$\frac{1}{x}$ 一侧跑向 $+\infty$,另一侧跑向 $-\infty$。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ← 无穷大和除以零 · 图片来源 → 图片来源和来源.

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阅读:欧拉,分析的化身

进一步阅读 Leitura 欧拉,分析的化身 莱昂哈德·欧拉 (1707-1783)出生于瑞士巴塞尔。他的父亲是一位新教牧师,希望他从事宗教事业,但这位年轻人是 约翰·伯努利当时欧洲最伟大的数学家,他很快就认识到了他的才华,并说服了家人让他学习数学。 莱昂哈德·欧拉,如图 1753。雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 · 维基共享资源 · 公共领域 在1727,二十岁的时候,他去了俄罗斯新成立的圣彼得堡科学院,他的老师的儿子丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利已经在那里工作了。 1738 左右,因病,右眼失明。 1741年,他接受了腓特烈大帝的邀请,在柏林学院度过了25年;在1766他回到了圣彼得堡,并在那里一直呆到去世。回来后不久,白内障夺走了他另一只眼睛的视力:欧拉在生命的最后十七年几乎失明了——正是在这段时间里,他完成了几乎一半的工作,向助手发号施令,并在头脑中进行大量计算。 欧拉几乎涵盖了所有领域:分析、数论、几何、力学、天文学、光学、音乐、造船。他的书被广泛阅读,以至于他使用的许多符号已经成为我们的符号:$e$ 表示自然对数的底数,$\pi$ 表示周长与直径的比率,$i$ 表示 $\sqrt{-1}$,$f(x)$ 表示函数,$\Sigma$ 表示和,小写字母 $a$、$b$、$c$ 表示与角 $A$、$B$、$C$ 相对的三角形的边。 对于三角学来说,决定性的著作是 1748 的Introductio in analysinInfinityrum(“无穷大分析简介”)。其中,正弦和余弦不再是任意半径圆的线段,而是成为一个数字的函数,在半径为1的圆上测量——这正是本书的三角循环。还出现了将三角学与指数联系起来的著名公式: $$e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x.$$欧拉于 1783 在圣彼得堡去世,享年 76。天文学家弗朗索瓦·阿拉戈 (François Arago) 表示,他的计算“毫不费力,就像人的呼吸和老鹰在空中的支撑一样”;他的同时代人称他为分析化身。 来源: Euler (MacTutor) · L. Euler,无限分析简介 (1748)。

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阅读:Poncelet,监狱里写的几何

进一步阅读 Leitura Poncelet,在监狱里写下的几何 Jean-Victor Poncelet (1788–1867) 出生于法国东部的梅斯。他曾就读于巴黎理工学院,是画法几何创始人加斯帕德·蒙日 (Gaspard Monge) 的学生,后来又在梅斯军事工程学校学习。在1812中,他作为一名工程中尉,随拿破仑军队入侵俄罗斯。 让-维克多·蓬塞莱。史密森尼图书馆 · 维基共享资源 · 公共领域 在从莫斯科撤退期间,他被认为在克拉斯诺伊战役中阵亡,并最终成为一名俘虏。冬天,他步行前往伏尔加河畔的萨拉托夫,被囚禁了大约十八个月。在没有书籍的情况下,他凭记忆重建了从蒙日那里学到的东西,并走得更远:他开始发展射影几何,研究图形从一个平面投影到另一个平面时不会改变的属性 - 与笛沙格和帕斯卡在 17 世纪开始探索的属性相同。 他于 1814 发布,返回法国并开始发表他的结果,首先是关于圆锥曲线外接的内接多边形的结果。这部伟大的著作,Traité des propriétésprojectives desfigures(“关于图形投影属性的论文”)发表于 1822。在其中,Poncelet 展示了通过投影保留了点的对齐或相切等属性,并系统地使用了二次曲线的极点与极之间的关系,这是对偶原理的基础:在平面射影几何中,当“点”和“线”一词互换时,关于点和线的每个定理仍然成立。 这些想法为射影不变量的研究铺平了道路,例如由莫比乌斯和查斯开发的四点的双比(或非调和),以及Felix Klein的程序,该程序在1872中通过保留几何的变换组对几何进行分类。庞塞莱也是一位重要的工程师:他设计了液压轮并教授应用力学。于1867在巴黎去世。 来源: Poncelet (MacTutor) · J.-V. Poncelet,图形的属性投影 (1822)。

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阅读:傅立叶和热传导

进一步阅读 Leitura 傅立叶和热传导 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) 出生于法国欧塞尔,是一名裁缝的儿子。他在 10 岁之前成为孤儿,在该市由本笃会僧侣开办的军事学校接受教育。当他还是个孩子的时候,他就写过供其他城市的牧师使用的布道文,在 13 岁时,他发现了数学,并且很快就在数学方面表现出色。他准备加入本笃会,但1789革命改变了他的计划。 约瑟夫·傅里叶 (Joseph Fourier),朱利安·利奥波德·布利 (Julien-Léopold Boilly) 的版画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域 傅立叶满怀热情地投身革命事业——并差点在1794的恐怖中被送上断头台。随着巴黎Escola Normal和Escola Politécnica在巴黎的创建,他成为了一名教授,并开始了使他成名的工作;从那时起,他提出了分离代数方程实根的方法,这是牛顿提出的一个问题。 在1798,他陪同拿破仑远征埃及,在那里他担任开罗研究所秘书,指导工程工作并成为埃及学专家。回到法国后,他被任命为格勒诺布尔伊泽尔省省长,在那里,在 1804 和 1807 之间,他研究了固体中的热传播。为了求解他发现的方程,他将温度写成正弦和余弦的无限和——这是一种与泰勒的级数展开不同的类型,因为它使用周期函数而不是幂。 对于拉格朗日和学院的其他成员来说,任何函数,甚至是那些带有“角”的函数,都可以用这种方式编写的想法似乎很荒谬,他们带着保留接受了 1807 年的回忆录。傅里叶坚持认为,并于 1822 年发表了 夏勒尔分析理论,数学物理学的里程碑。至 傅立叶级数 他们最终要求对函数、收敛和积分的概念进行彻底的修改——狄利克雷、黎曼和康托致力于这项工作——而今天它们无处不在:在音乐和图像的压缩中,在地震分析中和磁共振中。 1830 年傅里叶在巴黎去世。 本章中的波正是傅里叶片段:添加$\operatorname{sen} x$、$\frac{1}{3}\operatorname{sen} 3x$、$\frac{1}{5}\operatorname{sen} 5x$……,曲线变得越来越类似于方波。 傅立叶级数的部分和:使用 1、3 和 10 项,正弦之和近似于方波。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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阅读:博尔扎诺,皈依数学的牧师

进一步阅读 Leitura 博尔扎诺,皈依数学的牧师 伯纳德·博尔扎诺 (1781–1848) 在布拉格出生和去世,当时是奥地利帝国的一部分。他是一位天主教牧师和宗教哲学教授,但他的和平主义和对社会秩序的批评的思想令教会和政府感到不满:在1819中,他失去了教授职位,开始离家写作。数学成了他的避难所,而他的同时代人几乎不读他的作品。 伯纳德·博尔扎诺.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 在 1817 中,他发表了Rein analytischer Beweis(“纯分析证明”),其中他无需借助绘图证明了在区间内改变符号的连续函数会抵消当前的中间值定理。为此,他需要一个不依赖于几何直觉的连续性定义。博尔扎诺很早就意识到分析需要严谨,以至于菲利克斯·克莱因称他为“算术之父”。他和柯西从未见过面,但他们对极限、连续性和收敛性的定义非常相似;让他们为人所知的是更有威望的柯西。 在 1834 中,Bolzano 构造了一个函数在某个区间上连续且在任何点都没有导数。该示例尚未发布,最终功劳归于 Weierstrass,他在几十年后重新发现了这些结果。其他作品也遭受了同样的命运:今天我们称之为Bolzano-Weierstrass定理,它保证每个具有无限元素的有限集合至少有一个累加点,并且级数收敛准则之一以柯西的名字命名。 在遗书中 无穷悖论 (1851),博尔扎诺证明有 0 到 1 之间的实数与 0 到 2 之间的实数一样多 — 只需加入 $x$ 这 $2x$ —,或者一厘米线段上的点与两厘米线段上的点一样多。恢复伽利略的观察,他承认无限集合可以与其自身的一部分相对应。他似乎直觉地认为,实数的无穷大与整数的无穷大是另一种类型,只有康托才能将这一想法精确化。说博尔扎诺是“沙漠中哭泣的声音”并非没有道理。 来源: Bolzano (MacTutor) · Bernard Bolzano(斯坦福哲学百科全书)。

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第1章:参考文献与图片来源

延伸阅读 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷. Chicago: Open Court, 1928–1929. 关于每个符号来历的权威著作;本章几乎所有日期都可以在其中查到。 Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. 一部通俗的历史,主题与本书相同。 Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers. London: Harvill Press, 1998. 关于记数系统与零。 Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. 关于从丢番图到韦达的过渡。 Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics. 第 3 版. Hoboken: Wiley, 2011. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. 关于四元数与向量之争。 Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. 关于正弦和三角学名称的历史。 Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. 关于贝克莱、柯西与极限。 Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. 自 1990 年代维护至今的网页,列出每个符号已知最早的出处。 MacTutor 数学史档案,圣安德鲁斯大学:花拉子米、斐波那契、雷科德、韦达、哈里奥特、奥特雷德、凯莱、布尔、弗雷格和皮亚诺的传记。 本站早期关于几何、三角学、平方根、二次方程、对数、导数、链式法则、积分、极限、函数、微分方程、群、矩阵、向量和四元数的文章,是重写本章的基础。radix quadrati 的故事、配方的图形、拉丁文写的毕达哥拉斯定理、直角边、斜边、分和秒的词源、从 $\Sigma$ 到 $\int$ 的过渡、证明 $1=2$ 的把戏、胡克定律、“热的法则”与误差传递、从 logarithmus 缩写到 $\log$、导数和函数的词源、把函数读成带空位的句子、三角形运动的群表、四元数与向量之争,以及能动的记号与贫瘠的记号这两个概念,都来自这些文章。

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+、−、× 和 =:符号小史

数学里最简单的符号,也是最年轻的。欧几里得从没写过 $+$,花拉子米从没写过 $=$。已经使用字母的韦达,仍然把 aequatur(等于)完整地写出来。孩子在一年级学到的运算符号,几乎全都诞生于十五世纪末到十七世纪末的欧洲,前后大约两百年。 1489约翰内斯·维德曼在莱比锡的一本商业算术书中印出 $+$ 和 $-$。 1525克里斯托夫·鲁道夫在他的代数书《未知数》(Coss)中用 $\surd$ 表示平方根。 1557罗伯特·雷科德在《砺智石》中发明了 $=$。 1591弗朗索瓦·韦达用字母表示已知量和未知量。 1631威廉·奥特雷德用 $\times$ 表示乘法;同年,托马斯·哈里奥特的遗著出版,书中有 $<$ 和 $>$。 1637勒内·笛卡儿把幂写成指数:$x^3$、$x^4$。 1659约翰·拉恩用 $\div$ 表示除法。 1698莱布尼茨提议用点 $\cdot$ 表示乘法,以免把 $\times$ 和字母 $x$ 弄混。 加号和减号:仓库里的记号 $+$ 和 $-$ 最早出现在印刷品中是在 1489 年,约翰内斯·维德曼为商人写的一本算术手册里。在那里,它们还不完全表示运算,而是标记多出和短缺。一箱货物比应有的重量重,就标 $+$;轻了,就标 $-$。最被接受的假说是:$+$ 是拉丁文 et(“和”)的缩写,写得快了,就成了一个十字。 在此之前,意大利人写 $\bar{p}$(代表 plus)和 $\bar{m}$(代表 minus)。这种带横线的字母和德国的符号并存了一百多年。 等号:一对孪生的平行线 罗伯特·雷科德是伦敦的一位医生,他用英文写数学书,而那个时代几乎一切都用拉丁文写。1557 年,在《砺智石》(The Whetstone of Witte)一书中,他厌倦了在每一行都写 is equalle to(等于),于是解释道: 《砺智石》(1557)中雷科德介绍等号的段落。注意那两条平行线有多长。罗伯特·雷科德 · Wikimedia Commons · 公有领域 为了避免一遍遍重复“等于”这几个字,我将像在工作中常做的那样,放上一对平行线,也就是一样长的孪生线,像这样:═══,因为没有任何两样东西能比它们更相等了。 — 罗伯特·雷科德,《砺智石》(1557) 雷科德的理由是一个符号学的理由,而且是个好理由:这个符号像它所代表的东西。两条完全一样的线,画出了“相等”这个概念本身。紧接着,他用这个新符号写下了第一个方程: 第一个带等号的方程,今天写作 14x + 15 = 71。紧跟在 14 后面的符号是雷科德表示未知数(“根”)的记号,ϑ 表示普通的数。罗伯特·雷科德,1557 · Wikimedia Commons · 公有领域 雷科德的符号花了很长时间才胜出。八十年后,笛卡儿仍在用另一个符号;在欧洲大陆,$=$ 有时还被用来表示差或平行。直到 1700 年前后,莱布尼茨和他的追随者采用了它,它才成为标准。