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莱昂哈德·欧拉的生平

时间轴 17074 月 15 出生于瑞士巴塞尔。 172013 岁进入巴塞尔大学。他开始跟随约翰·伯努利学习。 1727移居俄罗斯圣彼得堡科学院。 1735解决巴塞尔问题并分析柯尼斯堡大桥。 1738他的右眼几乎失去了所有视力。 1741应普鲁士腓特烈二世的邀请，他前往柏林学院学习。 1748发布无限分析简介，其中出现 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$。 1750在给哥德巴赫的一封信中，他阐述了多面体的公式 $V - A + F = 2$。 1766应叶卡捷琳娜大帝的邀请返回圣彼得堡。白内障影响左眼。 1771白内障手术失败，他几乎失明。继续工作。 1783于 18 九月在圣彼得堡去世。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1707–1727 巴塞尔在瑞士出生长大。13 岁进入大学，开始每周六跟约翰·伯努利学习。 1727 吕贝克他乘船沿莱茵河而下，坐马车穿过德意志，在吕贝克登船前往俄国。 1727–1741 圣彼得堡在科学院工作。解决巴塞尔问题，研究柯尼斯堡七桥，右眼失明。 1741–1766 柏林应腓特烈二世之邀前往柏林科学院。出版《无穷分析引论》，提出公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$。 1766–1783 圣彼得堡应叶卡捷琳娜大帝之邀返回。几乎完全失明，却一直口述论文，直到 1783 年去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 欧拉生活过的城市，从巴塞尔到圣彼得堡。点击某一站，或使用沿路线走一遍。 地图：© OpenStreetMap 贡献者

September 29, 2026 阅读
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欧拉留给我们的语言

欧拉的部分影响在于那些似乎一直存在的事物。他创造或推广了： $f(x)$表示$x$的功能； 字母 $e$ 为自然对数的底，$e \approx 2{,}71828$； 字母$\pi$表示圆周长与直径之比（符号已 存在，但传播它的是欧拉）； $i$为虚数单位，同$i^2 = -1$； $\Sigma$ 表示总和。 等号与字母 π 符号也有诞生日。等号 $=$ 是威尔士人罗伯特·雷科德在 1557 年的《砺智石》（The Whetstone of Witte）一书中发明的，为的是不必一遍又一遍地写"等于"。他选了两条一样长的平行线，因为他解释说，没有什么东西比它们更相等了。字母 $\pi$ 是希腊词 periphéreia（圆周）的首字母，另一位威尔士人威廉·琼斯在 1706 年第一次以今天的含义使用它。欧拉从 1730 年代开始使用它，他的著作使它成为标准。 欧拉之眼诞生于这样的想法：通过欧拉的眼睛、通过历史和历史来看待数学。 拉丁语和希腊语的原始单词。许多符号在此过程中失去了意义。 根 square，例如，在拉丁语中它是基数quadratum，正方形的边：4的根是 一个正方形面积 4。 平方根作为平方的边。欧拉之眼系列 基数平方如何变成√（点击前进） radix quadratum 4 aequalis 2：“面积4的正方形的边等于2”。 抄写员缩写：rad quad 4 aq 2。 它们更缩写为：ra qua 4 aq 2。 还有更多：r q 4 aq 2。 直到r“吞掉”这个数字，成为我们今天使用的符号：$\sqrt{4} = 2$。 欧拉生活在一个伟大的转折点之中。我们在网站上讲述的方式是，数学经历了 五个时代： 0–1637绘图性质：欧几里得几何。 1637–1830解码本质：微积分，从笛卡尔到欧拉。 1830–1890模仿和设计自然：伽罗瓦群。 1890–1980控制性质：哈密顿向量和四元数。 1980–今天创造自然：曼德尔布罗特的分形几何。 数学时代：几何、微积分、群、向量和动力学。欧拉之眼系列 莱昂哈德·欧拉的所有主题 · ← 莱昂哈德·欧拉的一生 · 巴塞尔问题 →

September 29, 2026 阅读
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巴塞尔问题

在 1650 中，Pietro Mengoli 问平方反比之和值多少钱： $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ 伯努利家族尝试过但失败了。总和增长缓慢：对于 10 项，它给出 $1{,}5498$， 100 项给出 $1{,}6350$，1000 项给出 $1{,}6439$。没有人认得号码 她走了。见图：每个条形都是$N$项的总和。 部分和越来越缓慢地向 π²/6 上升。摆弄控制器或测试一百万个术语。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 1735年，欧拉使用了一个大胆的想法。多项式可以从它的根开始写。他 假设该函数也是如此 $\dfrac{\sin x}{x}$，这值得 $1$ 在 $x = 0$ 并抵消 $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$: $$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$ 该图显示了这个想法的运作情况。蓝色曲线是$\dfrac{\sin x}{x}$，根部标记为红色。曲线 金色是只有几个括号的乘积：增加因子的数量并看到乘积遵循曲线。

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数字 $e$ 和复利

1 2 3 4 点击数字探索画面。使用键盘时，可按Tab和Enter或方向键。 1. 顾客：初始本金 柜台前的人物代表带钱来交易的人。本文的例子从100个货币单位开始，这就是初始本金。 2. 接待：核对账目 柜台后的人物代表接待和核对金额。在这个模型中，要追踪资金的变化，需要知道本金、利率和计息期数。 3. 硬币：利息也产生利息 在年利率100%的数学例子中，每年计息一次会使100变成200。若分两个半年、每期50%，100先变成150，150再变成225：第二次计息也包括前一次产生的利息。 4. 钱箱：存放不等于复利 钱不会仅因存放而自行增加。例子中的利息来自数学上的计息规则。探索下方图表，比较每年、每月和更频繁的计息。 体验复利 ↓ 放大版画 Banca、trapeza、mensa：第一个银行家的表，在 1450 和 1650 之间。基于欧拉之眼系列雕刻的 AI 说明性重建 在到达欧拉之前，数字$e$经过了银行。金钱的词汇来自拉丁语： depositum（放入的内容，来自 ponere），creditum（被信任的内容，来自 credere，相信）和 juro（来自jus，juris，右侧）。

September 29, 2026 阅读
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欧拉公式和“最美方程”

数字$e$可以写成一系列： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ 欧拉有勇气在指数中放入一个虚数。将 $x$ 更改为 $i\theta$ 并 使用 $i^2 = -1$、$i^3 = -i$、$i^4 = 1$： $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ 将不带 $i$ 的术语与带 $i$ 的术语分开： $$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}$$ 括号中的两个级数正是余弦和正弦的级数。这就是如何 的公式 欧拉: $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$ 在几何上，$e^{i\theta}$ 是在半径为 1 的圆上行走的点：实部是 余弦，虚部是正弦。查看点旋转：

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弹簧和微分方程

微分方程是一个方程，其中未知数是一个函数，并且该方程讲述了它的函数 衍生物。欧拉将这条路径组织成一个我们今天仍在使用的方案：观察一个现象，写出 方程，找到解该方程的函数并绘制图形。 flowchart LR phenomenon((FENÔMENO)) --> equation["EQUAÇÃODIFERENCIAL"] equation --> solution["FUNÇÃOSOLUÇÃO"] solution --> plottedGraph((GRÁFICO)) plottedGraph --> derivative{"DERIVADA"} derivative --> phenomenon derivative -. "localiza" .-> extrema["Pontos de máximoe de mínimo"] classDef phenomenonStyle fill:#e6f1ee,stroke:#397c75,color:#243448,stroke-width:2px classDef equationStyle fill:#eaf0f7,stroke:#58799b,color:#243448,stroke-width:2px classDef solutionStyle fill:#f8efd9,stroke:#b68b3c,color:#243448,stroke-width:2px classDef derivativeStyle fill:#f5e9e3,stroke:#9b6251,color:#243448,stroke-width:2px class phenomenon phenomenonStyle class equation,plottedGraph equationStyle class solution solutionStyle class derivative,extrema derivativeStyle **这种现象。**在 1678 中，罗伯特胡克用拉丁语总结了弹簧的行为：uttensio, sic vis，“作为延伸，所以力量。”恒定 $k$ 的弹簧，被 $x$ 拉伸，拉回 强度$F = -kx$。 附在常数 k 的弹簧上的质量 m；位移围绕平衡 O 在 -A 和 +A 之间振荡。根据欧拉之眼集合中的草图重新绘制的图表 时间 t 进入系统，位置 x 离开：x = x(t)。基于提供的草图的原始图 由F = m·a、F = −kx 和a = x″，我们得到运动微分方程。基于提供的草图的原始图 **方程。**根据牛顿第二定律，$F = m \cdot a$，加速度是 位置，$x''$。然后

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柯尼斯堡大桥和图表的诞生

柯尼斯堡 (Königsberg)，位于 1652，拥有普雷格尔河 (Pregel) 及其岛屿。你可以数一下桥梁的数量。梅里安-埃尔本·公共领域 普雷格尔河穿过柯尼斯堡市（今俄罗斯加里宁格勒），形成两条河流 岛屿。七座桥梁连接城市的四个区域。居民们好奇这是否可行 每座桥步行一次。 在阅读答案之前，请自己尝试一下： 选择从哪里开始，然后单击桥梁来跨越它们。你能通过7吗？ Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 欧拉意识到街道的形状、岛屿的大小和桥梁的长度并不重要。 重要的是哪些区域链接到哪些区域。他用点画取代了地图 （区域）和线路（桥梁）。今天，这被称为图表： 欧拉论文（1736）的原始图：区域为 A、B、C 和 D，桥为 a、b、c、d、e、f 和 g。莱昂哈德·欧拉·公共领域 今天我们画同样的问题是这样的： 柯尼斯堡图。红色数字表示到达每个区域的桥梁数量。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 现在扣分。在游览中，每次经过一个区域（没有开始或结束 它），使用一座桥进入，另一座桥退出。然后来自中间区域的桥梁到来 总是成对：到达它的桥的数量必须偶数。仅起始区域和 到达阶段可能有奇数个桥梁。 结论：只有在至多两个区域拥有奇数座桥梁的情况下，游览才有可能。 在柯尼斯堡计数： 地区 桥梁 偶数还是奇数？ 克奈夫岛 5 (a, b, c, d, e) 奇怪的 北岸 3 (a, b, f) 奇怪的 南岸 3 (c, d, g) 奇怪的 洛姆塞岛 3 (e, f, g) 奇怪的 有四个个奇怪的区域，所以游览是不可能的。欧拉在 1735 中提出了这个论点， 它被认为是图论的第一个结果，这个领域今天已经落后了 GPS、社交网络和送货路线。

September 29, 2026 阅读
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$V - A + F = 2$ 和足球

在 1750 中，欧拉在给数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的一封信中指出了 凸多面体的顶点 ($V$)、边 ($A$) 和面 ($F$)： $$V - A + F = 2.$$ 用手指或鼠标旋转多面体并检查计算结果： V、A 和 F 由程序根据绘图本身进行计数。在所有情况下都会给出 2。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 查看五个正多面体： 多面体 $V$ $A$ $F$ $V - A + F$ 四面体 4 6 4 2 立方体 8 12 6 2 八面体 6 12 8 2 十二面体 20 30 12 2 二十面体 12 30 20 2 该公式可以让您推断出令人惊讶的事情。想象一个由 $p$ 五边形和 $h$ 缝合在一起的球 六边形，其中每个顶点恰好是三个面的交汇点，就像足球一样 经典。它需要有多少个五边形？

September 29, 2026 阅读
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和中的无穷多个素数

欧几里得在公元前 300 左右就已经证明了素数有无穷多个。在1737欧拉中 发现了一个完全不同的证明，它将素数与微积分联系起来。 对于每个素数 $p$，几何级数之和给出 $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ 将这些表达式乘以 $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ 每个项的乘积具有以下形式 $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$。 每个自然数都以单一方式写为乘积 素数中，每个分数 $\frac{1}{n}$ 恰好出现一次： $$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$ 但右侧的总和，即调和级数，无限增长：从 $\frac{1}{3}$ 到 $\frac{1}{4}$加起来超过$\frac{1}{2}$，从$\frac{1}{5}$到$\frac{1}{8}$也有，从 $\frac{1}{9}$ 至 $\frac{1}{16}$ 也是如此，依此类推。如果有有限数量的 素数，左侧将是有限数的乘积，因此是有限数。矛盾： 素数有无限多个。 将术语分组为 1、2、4、8…每个块从 1/2 开始。添加无限块，总和不断增长。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

September 30, 2026 阅读
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费马数不是素数

皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 相信所有 $2^{2^n} + 1$ 形式的数字都是素数。对于 $n = 0, 1, 2, 3, 4$ 有效：3、5、17、257 和 65 537 是素数。下一个是 $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ 手动测试所有分隔线是不切实际的。在1732中，欧拉证明这个数是可整除的 由641。一种优雅的看待方式是使用两种写法 641： $$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$ 处理除以 641 的余数（符号 $\equiv$ 表示“保留相同的余数”）： 四步推演（点击进阶） 第一种方式，$5 \cdot 2^7 \equiv -1$。求四次方：$5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$。 第二种方式，$5^4 \equiv -2^4$。 将步骤2替换为步骤1：$-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$，即$-2^{32} \equiv 1$。 因此$2^{32} + 1 \equiv 0$：该数字是641的倍数。 事实上，4294967297=641×6700417。直到今天，还没有其他数字被知晓 费马素数超出前五名。

September 30, 2026 阅读
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欧拉定理和密码学

在1763中，欧拉研究了函数$\varphi(n)$（符号$\varphi$后来出现，与高斯一起）：从1到$n$与$n$没有公因数的数字的个数。 例如，$\varphi(10) = 4$，因为从1到10只有1、3、7和9是合适的。他证明了如果$a$不 与 $n$ 有公因数，所以 $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$ 请参阅 $n = 10$ 和 $a = 3$ 的想法。将数字 1、3、7 和 9 乘以 3： $$3 \cdot 1 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 7 = 21 \equiv 1, \quad 3 \cdot 9 = 27 \equiv 7 \pmod{10}.$$ 在10小时时钟上，乘以3、7或9只会打乱数字1、3、7和9。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 余数为 3、9、1 和 7：相同的四个数字，只是打乱了。所以他们的产品是 相同：

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其他贡献和遗产

其他贡献 完整的清单将占据一整本书。一些亮点： **欧拉直线：**在每个三角形中，垂心、重心和外心对齐。 Euler-Mascheroni常数： $\gamma \approx 0{,}5772$，调和级数之差 和自然对数。 **力学和流体：**流体和刚体旋转的欧拉方程。 **变化的计算：**欧拉-拉格朗日方程，现代物理学的基础。 特殊函数： gamma 函数，它将阶乘扩展到非整数。 要记住 欧拉生活在巴塞尔、圣彼得堡和柏林之间，在几乎失明的情况下完成了一半的作品。 他为数学赋予了符号 $f(x)$、$e$、$i$、$\Sigma$ 并普及了 $\pi$。 找到 $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 和 $e^{i\pi} + 1 = 0$。 他将这个数字命名为$e = \lim (1 + 1/n)^n$，它源于复利，是自然对数的底数。 用$e^{rt}$求解弹簧方程，其公式为：解为正弦曲线。 通过柯尼斯堡大桥，他创造了图论。 通过 $V - A + F = 2$，他解释了为什么每个经典足球都有 12 五边形。 他将素数与计算联系起来，并创建了保护当今互联网的定理。 莱昂哈德·欧拉的所有主题 · ← 欧拉定理与密码学 · 图片来源 → 图片来源和来源.

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