*Banca、trapeza、mensa*：第一个银行家的表，在 1450 和 1650 之间。

1. 顾客：初始本金

柜台前的人物代表带钱来交易的人。本文的例子从100个货币单位开始，这就是初始本金。

2. 接待：核对账目

柜台后的人物代表接待和核对金额。在这个模型中，要追踪资金的变化，需要知道本金、利率和计息期数。

3. 硬币：利息也产生利息

在年利率100%的数学例子中，每年计息一次会使100变成200。若分两个半年、每期50%，100先变成150，150再变成225：第二次计息也包括前一次产生的利息。

4. 钱箱：存放不等于复利

钱不会仅因存放而自行增加。例子中的利息来自数学上的计息规则。探索下方图表，比较每年、每月和更频繁的计息。

体验复利 ↓ 放大版画
Banca、trapeza、mensa：第一个银行家的表，在 1450 和 1650 之间。基于欧拉之眼系列雕刻的 AI 说明性重建

在到达欧拉之前，数字$e$经过了银行。金钱的词汇来自拉丁语： depositum（放入的内容，来自 ponere），creditum（被信任的内容，来自 credere，相信）和 juro（来自jus，juris，右侧）。

想象一下，每年 **100% 的 R$ 100**。如果银行只向您付款一次，在年底，您会收到 R$ 200。但如果他把一年分成几个时期并支付利息呢？

一年中的各个时期 每期费率 帐户 年底的时候
1（每年） 100% $(1 + \frac{1}{1})^1 = 2$ R$ 200,00
2（每六个月） 50% $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2{,}25$ R$ 225,00
4（季度） 25% $(1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2{,}4414$ R$ 244,14
12（每月） ≈ 8,33% $(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2{,}6130$ R$ 261,30
365（每日） ≈ 0,27% $(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2{,}7146$ R$ 271,46

对于 $n$ 个周期，大写字母 $C_0$ 变为

$$C_n = C_0\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$$
虚线代表连续资本化；步骤，每个期间支付的利息。使用控件比较年末余额。

最终值会增长，但并非没有限制：它接近一个既不是整数也不是分数的数字。

$$\begin{aligned} \left(1 + \tfrac{1}{10}\right)^{10} &= 2{,}5937\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{100}\right)^{100} &= 2{,}7048\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{1000}\right)^{1000} &= 2{,}7169\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{10\,000}\right)^{10\,000} &= 2{,}7181\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{100\,000}\right)^{100\,000} &= 2{,}7182\ldots \end{aligned}$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e = 2{,}718281828\ldots$$
当n无限增长时，(1 + 1/n)ⁿ接近e。该表达式是一个极限，而不是“1 除以无穷大”。
当n无限增长时，(1 + 1/n)ⁿ接近e。该表达式是一个极限，而不是“1 除以无穷大”。欧拉之眼原图
约翰·纳皮尔 (1550–1617)，对数的发明者。
约翰·纳皮尔 (1550–1617)，对数的发明者。为本文提供的彩色肖像

雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli) 已经在 1683 中研究了这个极限，但没有给它命名。欧拉将其命名为 $e$ 并且 证明它也是一个级数的和：

$$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

在Introductio (1748)中，欧拉计算了$e$的第23位小数。

Scribatur pro numero，其对数为unitas, e, qui est 2,7182817…（对数为单位的数写为e。）

— 莱昂哈德·欧拉，1727–1728 的手稿

字母 $e$ 的路径：

  1. 1614
    John Napier 发布了Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio，第一个对数表。
  2. 1618
    爱德华·赖特 (Edward Wright) 制作的纳皮尔作品英文译本的附录中包含我们今天称为 $e$ 的底数的对数。
  3. 1647
    Grégoire de Saint-Vincent 显示双曲线下方的面积以对数增长。
  4. 1668
    Nicolau Mercator 在 Logarithmotechnia 中给出了名称 logarithmus naturalis（自然对数）。
  5. 1683
    雅各布·伯努利研究复利的极限。
  6. 1727
    Euler 在一份仅在 1862 上发表的手稿中使用了字母 $e$。
  7. 1748
    在Introductio中，欧拉将$e$写成一个级数，并计算23位小数。
以 e 为底的对数称为自然对数：logₑ(x) = ln(x)。
以 e 为底的对数称为自然对数：logₑ(x) = ln(x)。欧拉之眼原图

**为什么是“自然”？**因为它是具有最简单导数的对数。使用定义 $e$ 的限制 （对于 $n = x/\Delta x$，当 $\Delta x$ 变为零时，它变为无穷大）：

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\ln x &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\ln(x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{\Delta x}\ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) = \frac{1}{x}\lim_{n \to \infty}\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \\ &= \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x}. \end{aligned}$$

然后是最著名的属性$e^x$。如$\ln(e^x) = x$，两边求导：

$$\frac{1}{e^x}\cdot\left(e^x\right)' = 1 \quad\Longrightarrow\quad \left(e^x\right)' = e^x.$$

$e^x$ 是等于导数本身的函数。这个属性是发现4的关键，关于 微分方程。

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