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度量元素和关系

我们知道，当三角形的一个内角是直角时，它就是矩形。在本章中，我们将发展一种几何三角理论，使我们能够基于最少的数据来计算直角三角形的线段和角度的测量值。 故事 直角三角形的度量关系是数学中最古老的度量关系之一。公元前 1800 左右的巴比伦泥板，例如著名的 Plimpton 322，列出了满足 $a^2 = b^2 + c^2$ 的数字组，而 YBC 7289 泥板给出了 $\sqrt{2}$ 的极好近似值，即正方形边上 1 的对角线。然而，该定理的第一个已知证明是希腊语：它出现在欧几里得几何原本第一卷的命题47（大约公元前300），传统上将其归因于毕达哥拉斯学派。 毕达哥拉斯是谁 毕达哥拉斯（约公元前570–495）出生于萨摩斯岛，按照传统前往埃及和巴比伦，在意大利南部的克罗托纳建立了一个社区，同时也是一所学校、宗教派别和政党。毕达哥拉斯学派相信灵魂轮回，吃素，不吃蚕豆，并对他们的发现保密——因此不可能知道大师做了什么，弟子做了什么。学校的座右铭是“一切皆数字”：他们发现悦耳的音符与弦长 $2:1$、$3:2$ 和 $4:3$ 的简单比例相对应。传说，毕达哥拉斯在证明该定理时，向众神献祭了一百头牛——这与素食主义并不相符。具有讽刺意味的是，该定理本身导致人们发现平方的对角线不是整数之比，从而破坏了“一切都是数字”的想法。 萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前 570–495），后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 几何原本的命题I.47的图形。虚线从$A$垂直于斜边延伸，将红色正方形分成两个矩形：欧几里得证明每个矩形都有一个较小正方形的面积，因此$a^2 = b^2 + c^2$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 24, 2026 阅读
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π/n 的正弦和值得注意的弧

我们将验证实数 $x = \dfrac{\pi}{n}$ 以及 $n \in \mathbb{N}$ 和 $n \ge 3$ 的圆函数可以从 $\ell_n$ 计算，即正多边形的边，$n$ 边内接在循环中。 故事 在第一本书中 天文学大成, 托勒密 他完全按照这样的方式构建了他的弦表：他从欧几里得几何知道如何计算的内接正多边形——三角形、正方形、五边形、六边形和十边形——的边开始，并通过弧的和、差和一半的公式获得其他弧，我们将在第六章中看到这些公式。弓的弦 $2\alpha$ 在一个半径的圆内 $R$ 和 $2R\operatorname{sen}\alpha$：本章中的定理是这一思想的现代翻译。 托勒密是谁 的 克劳狄斯·托勒密 （约 100-170）除了这部作品之外，几乎一无所知：他住在罗马埃及的亚历山大，他记录的观测范围从 127 到 141。他伟大的天文学论文被称为 数学作文;崇拜他的阿拉伯天文学家称他为 议会，“最伟大的”，从那里而来 天文学大成。在其中，托勒密描述了一个以地球为中心、行星一圈又一圈的宇宙——这是一个有缺陷的模型，但它在预测天空位置方面非常准确，以至于它被使用了近 1400 年，直到哥白尼和开普勒。托勒密还写过一篇 地理，具有数千个地点的坐标，以及 光学，其中他研究光的折射。 克劳狄斯·托勒密（Claudius Ptolemy，c. 100–170），后来的艺术表现，带有浑天仪。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 圆弧 $2\alpha$ 的弦 $AB$ 由半径 $OM$ 一分为二：每一半测量 $R\operatorname{sen}\alpha$，然后测量 $\text{crd}\,2\alpha = 2R\operatorname{sen}\alpha$。托勒密的木板提供了绳索；印第安人，半绳。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 23, 2026 阅读
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基本关系

本主题中的所有关系都来自两个平面几何工具：勾股定理和三角形相似性。下图显示了我们将使用的三个三角形。 拖动 $P$ 并选择关系。小组以数字方式检查每个相等性。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 故事 在天文学大成中，托勒密已经使用了$\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$的等价物：如果他知道弓的弦，他就可以通过毕达哥拉斯定理在半圆内接的三角形中获得额外的弓弦。正切和割线的关系出现在 Abu al-Wafa（10 世纪）和 Nasir al-Din al-Tusi（13 世纪）的著作中，他们的四边形论文使三角学成为一门独立于天文学的学科。 纳西尔·丁·图西是谁 Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) 出生于今伊朗东北部的图斯，生活在该地区最暴力的时期之一：蒙古入侵。他在阿拉穆特等山区堡垒中为伊斯玛仪统治者工作了大约 25 年——有人说这并不完全是出于他自己的自由意志。当成吉思汗的孙子蒙古旭烈兀在1256占领这些堡垒时，图西加入了他的行列，并陪伴他征服了巴格达。他说服旭烈兀资助在马拉加建造一座大型天文台 (1259)，拥有庞大的图书馆和甚至来自中国的天文学家。在那里，他创造了“al-Tusi 对”，即两个相互旋转的圆，产生直线运动，这一特征在三个世纪后再次出现在哥白尼的著作中。 Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274)，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1201 TusNasce em Tus, no Coração. O pai, jurista, o incentiva a estudar todas as ciências. c. 1220 NishapurEstuda filosofia, medicina e matemática numa das grandes cidades de saber do Irã, pouco antes da chegada dos mongóis. c. 1230–1256 AlamutVive nas fortalezas ismaelitas das montanhas, como Alamut, onde escreve boa parte da obra. 1258 BagdáAcompanha Hulagu, neto de Gengis Khan, na conquista de Bagdá. 1259–1274 MaraghaDirige o grande observatório financiado por Hulagu, com biblioteca e astrônomos vindos de longe. Ali escreve o Tratado sobre o quadrilátero. 1274 BagdáMorre em Bagdá. 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 Os lugares de Nasir al-Din al-Tusi, entre as fortalezas ismaelitas e o observatório de Maragha. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地图：© OpenStreetMap 贡献者

October 22, 2026 阅读
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章节练习 14 — 直角三角形

度量关系 506 在以下情况下确定$x$的值： Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 在下列情况下，将 $x$ 确定为 $a$ 的函数： Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8 509 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) $2\sqrt{29}$ · b) 9 510 写出10与图中所示元素的度量关系。 Ver resposta其中：$b^2 + a^2 = n^2$、$c^2 + a^2 = m^2$、$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{a^2}$。 511 在以下情况下确定 $x$： Ver respostaa) 6 · b) 3 · c) 8 · d) 9

October 9, 2026 阅读
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毕达哥拉斯定理的应用

正方形的对角线、等边三角形的高度以及30°、45°和60°的三角比都来自同一个定理。 谁发现的 正方形的对角线已经计算出来 巴比伦人：平板电脑 YBC 7289（约公元前 1800–1600 年）给出 $\sqrt{2}$ 具有六位正确的小数位。直角三角形边之间的比率最初是天文表格： 尼西亚的喜帕恰斯 （公元前2世纪）建立了弦表，印度人 阿里亚巴塔 （499）开始使用半绳——我们的 正弦 ——伊斯兰天文学家喜欢 阿布·瓦法 （10世纪）有组织的影子表，我们的 切线。生成所有有边的毕达哥拉斯三角形的公式 $x^2 - y^2$, $2xy$ 和 $x^2 + y^2$，出现在书中的一句座右铭中 元素 的 欧几里得. 尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域 Aryabhata，后来的艺术表现。Cpjha13 · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 Abu al-Wafa，后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 埃及人已经使用三角比来建造金字塔：莱茵德纸莎草纸（约公元前 1650 BC）计算 seked，即每肘高高度，面部水平前进多少手掌——面部的斜率，余切值。 莱茵德纸莎草纸的细节，由艾哈迈斯在公元前 1650 左右抄写。该文件保留了埃及的数学问题和程序。抄写员艾哈迈斯；大英博物馆文件的复制品 · 维基共享资源 · 公共领域。 毕达哥拉斯套装有一个著名的后代。在 1637 左右，Pierre de Fermat 在他的丢番图算术副本的页边空白处指出，就在套装问题旁边，$x^n + y^n = z^n$ 对于 $n > 2$ 没有正整数解。演示仅在 1994 进行，由 Andrew Wiles 进行。

October 9, 2026 阅读
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度量关系

斜边的平方是边的平方和。但这只是直角三角形中高度所揭示的几种关系之一。 谁发现的 直角三角形边之间的关系比 萨摩斯岛的毕达哥拉斯 （公元前六世纪）。董事会 巴比伦 从公元前 1800 年左右开始，使用 3、4、5 等术语来计算正方形的对角线；你 苏尔巴经 从 印度 （约公元前 800 年至公元前 500 年）规定了建造祭坛的规则；和中文文本 周笔算经 提供视觉证据。希腊传统将该定理与毕达哥拉斯联系在一起，但没有文献证据证明他证明了这一定理。我们最古老的示威是在 元素 的 欧几里得 （约公元前 300 年）：命题 I.47 通过面积证明定理，并且 I.48 证明 互惠的。与音高的关系——每条腿和音高为 比例平均数 ——在提案中 六.8 及其推论。 萨摩斯岛的毕达哥拉斯，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 本章的证明是第六卷中欧几里得的证明：高度将三角形分成两个与原来相似的三角形，比例给出了度量关系；将它们两个相加就得到毕达哥拉斯定理。很少有数学陈述能以如此多的方式得到证明：美国教授 Elisha Loomis 在 1940 版的《毕达哥拉斯命题》毕达哥拉斯命题 中汇集了 370 种不同的论证，其中包括未来美国总统 詹姆斯·加菲尔德的一项论证，作者是 1876，用秋千做的。 伊丽莎·斯科特·卢米斯。Finkel, B. F. · 维基共享资源 · 公共领域 詹姆斯·加菲尔德。身份不明的摄影师； Brady-Handy 收藏 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得毕达哥拉斯定理（命题一47）的中文字母：在利玛窦和徐光启翻译的《几何原本》1607中，希腊标签变成了十个天干。来自博客的原始教学插图，根据欧拉之眼系列中的人物重新设计。 该定理也是通向无理数的大门：边长为 1 的正方形的对角线测量为 $\sqrt{2}$，并且这个数字不是分数的发现震惊了毕达哥拉斯学派。

October 9, 2026 阅读
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毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯定理是数学中最著名的基本命题之一，它在直角三角形的边之间建立了一种优雅的关系。这个定理的历史与其数学应用一样令人着迷，因为它跨越了文化和时代，揭示了数学知识是如何在代际间积累和共享的。 该定理传统上归因于希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯，他生活在大约公元前 570 到 495 BC 之间，该定理指出，在直角三角形中，斜边（与直角相对的边）的平方等于其他两条边（称为边）的平方和。 然而，毕达哥拉斯定理的历史是复杂而微妙的。有证据表明，比毕达哥拉斯早数千年，巴比伦、印度和埃及的数学家就已经知道并使用了该定理。早在古希腊正式定理之前，这些古代文明就将该定理应用于测量和建筑等实际目的。 毕达哥拉斯通常被认为是第一个以他的名字命名的定理的正式证明者，尽管他的证明没有直接的书面记录。他创立的毕达哥拉斯学派带来了一系列数学和哲学发现，该定理的证明很可能是这个思想家群体的集体努力。 欧几里得几何，以亚历山大的欧几里得命名，是对我们直观熟悉的几何空间的探索。它涉及平面、实体图形，这些图形在向各个方向无限延伸的维度系统（如直线和平面）中进行研究。在这个系统中，毕达哥拉斯定理是解决问题和证明与距离和面积相关的概念的重要工具。 毕达哥拉斯定理的应用超出了纯数学的限制。它被用于物理、工程、建筑甚至艺术等多个领域。例如，在导航中，它有助于计算两点之间的最短路线，而在施工中，它允许工人检查拐角是否成直角，以确保结构精度。 毕达哥拉斯定理有许多证明，其中一些是纯粹视觉的，而另一些则使用代数方法。最著名的演示之一涉及在一个正方形内排列四个相同的三角形，结果表明较小正方形（边）的面积之和等于较大正方形（斜边）的面积。 欧几里得距离是源自毕达哥拉斯定理的概念，用于计算任意维度空间中两点之间的最短距离。这一原理是数据分析和计算机图形学的基础，其中测量精度至关重要。 毕达哥拉斯定理 在本书的简介中，我们从正方形边的概念开始。我们的radix quadratum。 从图中，我们注意到我们有正方形的面积，在当前的数学中是边$\times$边。 示例 1： $$\text{Area 1} = 3\times 3 = 9$$ $$\text{Area 2} = 4\times 4 = 16$$ $$\text{Area 3} = 5\times 5 = 25$$ $$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$ 示例 2： $$\text{Area 1} = 6\times 6 = 36$$ $$\text{Area 2} = 8\times 8 = 64$$ $$\text{Area 3} = 10\times 10 = 100$$ $$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$

July 11, 2024 阅读